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バシュリエ（正規）モデル

バシュリエ（1900年）は最初のオプション価格モデルであり、ブラック・ショールズより73年も先行していました。価格変動は加法的で正規分布に従います。バシュリエはパーセンテージリターン（対数正規）ではなく、金額ベースの変化（正規）をモデル化します。価格はマイナスになり得ます -- これは株式にとってはバグですが、金利にとっては機能です。

このモデルのパラメータはちょうど1つ、絶対値で測定されるノーマル・ボラティリティ（例：「30%/年」ではなく「$50/年」）です。スマイルは存在しません。もし世界がバシュリエ的であれば、すべての行使価格にわたるすべてのオプションが同じノーマル・ボラティリティを持つはずです。このフラットなスマイルこそが、モデルの核心的な予測です。

💡
スキューはモデルのアーティファクトであり得る

バシュリエは構造上フラットなスマイルを生み出します。その価格をブラック・ショールズのインプライド・ボラティリティに変換すると、スキューが現れます。このスキューは市場に存在するものではなく、正規的かもしれない世界に対数正規の数学を強制した結果です。

モデルを探索する​

青の破線がバシュリエの視点です：すべての行使価格に対して1つのボラティリティ。緑の曲線は同じオプション価格をブラック・ショールズの用語で再表現したものです。スポット価格を下げて、見かけ上のBSスキューが急になる様子を観察してください -- バシュリエの世界では何も変わっていないにもかかわらず。

Bachelier vs Black-Scholes エクスプローラー

典型的な設定です。Bachelierのスマイルは定義上フラットです。同じ価格をBSで表し直すとスキューが生じます。
16%22%28%828894ATM106112118行使価格インプライド・ボラBSインプライド・ボラ (%)Bachelier（ノーマル・ボラ）
ノーマル・ボラ20
絶対ボラティリティ（$/年、パーセントではありません）
スポット価格 (S)100
スポットが低いほどBSの見かけのスキューが大きくなります

フラットな青い破線がBachelierの見方で、すべての行使価格に対して1つのボラティリティです。緑の曲線は同じオプション価格をBlack-Scholesの観点で表し直したものです。「スキュー」はモデル上のアーティファクトであり、市場の特性ではありません。

各パラメータの役割​

  • ノーマル・ボラティリティ：唯一のパラメータです。年あたりの絶対価格単位で測定されます（パーセンテージではありません）。ノーマル・ボラティリティが20の場合、価格は1年間で$20動くと予想されます（1標準偏差）。すべての行使価格にこの同じボラティリティが適用されます -- スマイルはフラットです。
  • スポット価格：バシュリエのスマイルは変化しません（フラットのまま）。しかし、BS換算のスマイルには劇的に影響します。スポット価格が低いほど、同じ金額の変動がより大きなパーセンテージの変動に相当するため、BSインプライド・ボラティリティが上昇し -- 見かけ上のプット・スキューが生まれます。

なぜBSの「スキュー」が現れるのか​

何が起こるか
バシュリエの視点
BSの視点
ATMオプションの価格付け
ノーマル・ボラティリティが直接適用される
対数正規ボラティリティはおよそ normal_vol / spot
OTMプット（低い行使価格）
ATMと同じボラティリティ
同じ金額の変動 = 低い価格ではより大きな%の変動となるため、IVが高くなる
OTMコール（高い行使価格）
ATMと同じボラティリティ
同じ金額の変動 = 高い価格ではより小さな%の変動となるため、IVが低くなる
スポット価格を下げる
スマイルはフラットのまま
曲線全体が上方シフトし、プット側のウィングが急になる
ℹ️
SABRのベータがバックボーンを決める

SABRのバックボーン（ボラティリティ・オブ・ボラティリティをオフにしたときのスマイル）はベータに依存します。ベータ = 0：バシュリエ。ベータ = 1：ブラック・ショールズ。ベータは、正規と対数正規のスペクトラム上のどこに位置するかを選択します。

バシュリエが使われる場面​

市場
なぜバシュリエか
ノーマル・ボラティリティの単位
金利スワップション
EUR、JPY、CHFで金利がマイナスになった。BSはゼロで破綻するが、バシュリエはしない。
bps/年（例：50 bps）
スプレッド・オプション
スプレッドはマイナスになり得る。加法的モデルが自然。
$/年 または bps/年
CDSオプション
クレジット・スプレッドは加法的な変動としてモデル化するのが自然。
bps/年
暗号資産（ニッチ）
原資産がマイナスになり得るファンディングレート・オプションやベーシス・オプション。
%/年（絶対値）
⚠️
暗号資産のスポット・オプションには不向き

暗号資産のスポット価格は正であり、レバレッジ効果（価格下落時にボラティリティが上昇）を示します。ここでは対数正規のフレームワーク（ブラック・ショールズ系）の方が自然です。バシュリエは、金利、スプレッド、そしてマイナスになり得るあらゆるものに適したツールです。

バシュリエとブラック・ショールズの一覧比較​

バシュリエ
ブラック・ショールズ
価格ダイナミクス
加法的（正規）
乗法的（対数正規）
ボラティリティの単位
$/年（絶対値）
%/年（相対値）
マイナス価格？
可能（設計上）
不可（負の値の対数は定義されない）
スマイルの形状
定義上フラット
世界が真に対数正規である場合のみフラット
パラメータ
1つ（ノーマル・ボラティリティ）
1つ（対数正規ボラティリティ）
変換
σ_n ≈ σ_BS × S（ATM近傍）
σ_BS ≈ σ_n / S（ATM近傍）
用途
金利、スプレッド、CDS
株式、FX、暗号資産のスポット

変換式​

ATM近傍では、2つの間で変換できます：

σnormal≈σBS×S\sigma_{\text{normal}} \approx \sigma_{\text{BS}} \times S

BSボラティリティ30%の100の株式は、およそ100の株式は、およそ30のノーマル・ボラティリティを持ちます。しかし、この近似はATMから離れると成り立たなくなります。バシュリエの価格を変換したときにBSの「スマイル」が現れるのは、まさにこのためです。

💡
定義上フラットなスマイル

バシュリエは価格変動を加法的なものとして扱います。そのスマイルは定義上フラットです。BSの用語に変換した後に現れるスキューは、モデル選択のアーティファクトであり、市場の特徴ではありません。

方程式エクスプローラー​

数式エクスプローラー

$
$
日
%
%
コール価格
$8300
プット価格
$7890
コール Δ
0.555
d₁
0.102
ベガ
$114

次に進む前に理解度をテストしましょう。

Q: なぜバシュリエはフラットなスマイルを生み、ブラック・ショールズはそうならないのですか？
Q: バシュリエのオプション価格をBSインプライド・ボラティリティに変換すると、プット・スキューが得られます。そのスキューはどこから来るのですか？
Q: 暗号資産において、ブラック・ショールズの代わりにバシュリエを使うのはどのような場合ですか？
Q: ATM近傍におけるノーマル・ボラティリティとBSボラティリティの関係は何ですか？

💡 ヒント： 回答を見る前に自分で答えてみましょう。

数学的直観を養う​

バシュリエをゼロから学ぶインタラクティブレッスン · 前提知識は不要です

このレッスンでは、まず平易な言葉によるメンタルモデルから始め、次にノーマル・ボラティリティ、価格式、そしてフラットなノーマル・スマイルがブラック・ショールズの用語に翻訳した後にスキューとして現れ得る理由を順に解説します。

関連項目：

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