ゼロから学ぶバシュリエ
1/5パーセンテージではなくドル
Black-Scholesは「10%の変動」と言い、バシュリエは「$10の変動」と言います。これこそが、最も古い2つのオプション価格モデルの哲学的な分岐点のすべてです。
Louis Bachelierは1900年、Black と Scholes の73年前にこのモデルを発表しました。その考え方は極めてシンプルで、価格変化は加法的かつ正規分布に従うというものです。モデルは1本の方程式です：
ノーマル・ボラティリティが$20なら、モデルは価格が1年で約$20動きうると予測します。価格が$40から始まっても$400から始まっても、変動幅はドル建てで同じ大きさです。これが「加法的」の意味であり、ノイズは価格水準に応じてスケールしません。
これをBlack-Scholesと比較してみましょう。そこではノイズが乗法的です: dS = S·σ·dW。同じ30%のボラティリティは、$100の原資産では$30の動きを生みますが、$500の原資産では$150の動きを生みます。物差しが伸びるのです。
価格スライダーをドラッグしてみてください。バシュリエの物差しは、目盛りが固定のドル間隔のまま保たれます。BSの物差しは、各目盛りが現在価格に対する固定のパーセンテージであるため、伸び縮みします。
加法的モデルは負の価格を生み出しえます。株式オプションの価格付けではこれはバグです。しかし、金利（EUR、JPY、CHFではマイナスになりました）や、本質的に符号を持つスプレッドにとっては利点です。バシュリエは73年時代を先取りしており、その「欠陥」は金利オプションの業界標準となりました。
数式は思ったよりシンプル
バシュリエのコール価格は、Black-Scholesよりも構成要素が少なくて済みます。対数もなく、割引ファクターの煩雑さもありません。引き算、比率、そして正規分布の参照が2回あるだけです。
数式を2つの部分に分ければ、簡単に覚えられます：
Piece 1: (S − K)·Φ(d) は本質的なペイオフを確率で重み付けしたものです。コールがイン・ザ・マネーで終わる場合、S を受け取り、− K. Φ(d) はそれが起こる確率です。
Piece 2: σn√T·φ(d) は時間的価値のクッションです。スポットが行使価格の近くにあっても、不確実性がオプションにチャンスを与えます。ボラティリティや時間が増えると、この項も大きくなります。
Black-Scholesと比較してみましょう: C = S·Φ(d₁) − K·e−rT·Φ(d₂)。BSはln(S/K)を使いますが、Bachelierは S−K を使います。その対数こそが全ての違いです。ATM付近では、両者は一致します。
行使価格をスポットから離して、2つの価格が乖離する様子を見てください。ATM付近では、線形近似と対数近似が局所的に一致するため、ほぼ同一です。ディープOTMでは、バシュリエは負の価格を許容しBSは許容しないため、モデル間で食い違いが生じます。
ノーマル・ボラティリティ vs BSボラティリティ
ATM付近では両者の変換は簡単です： σn ≈ S · σBS。同じドル建ての変動が行使価格ごとに異なるパーセンテージになるため、フラットなノーマルのスマイルはスキューのあるBSスマイルに対応します。
スポットが$100でBSボラティリティが30%なら、ノーマル・ボラティリティはおよそ$30です。スポットが$50に下落すると、同じ$30のノーマル・ボラティリティはBS換算で60%になります。バシュリエの世界では何も変わっていないのに、BSボラティリティは2倍になったのです。
だからこそ、完全にフラットなバシュリエのスマイル（全行使価格で1つのノーマル・ボラティリティ）が、スキューのあるBSスマイルを生むのです。低い行使価格では、同じドル建ての変動がより大きなパーセンテージに相当します。高い行使価格では、より小さなパーセンテージになります。BSのインプライド・ボラティリティ曲線は左から右へ下方に傾きます。
以下のインタラクティブでは、同じ市場の2つの見方を示します。バシュリエは1つのボラティリティを示し、BSは曲線を示します。どちらも間違いではなく、同じオプション価格の集合に対する異なる座標系なのです。
バシュリエが適切なモデルとなる場面
バシュリエは、金利オプション、スプレッドオプション、そして原資産が負になりうるあらゆる商品における業界標準です。暗号資産スポットの既定モデルとしては適切ではありませんが、ベーシスやファンディングレート商品には最適です。
金利： 2014年にECBが金利をマイナスに誘導したとき、Black-Scholesは機能しなくなりました。負の数の対数は取れないからです。世界中の金利デスクは一夜にして対数正規から正規のクォートに切り替えました。スワップションのボラティリティは現在、対数正規ボラティリティのパーセントではなく、ノーマル・ボラティリティのベーシスポイントで提示されています。
スプレッド： 2つの価格の差は本質的に加法的です。カレンダースプレッド、ベーシス取引、クロスカレンシー・スプレッドは正にも負にもなりえます。バシュリエは小細工なしにこれを扱えます。
ファンディング商品： 暗号資産のファンディングレートはゼロ付近で変動し、マイナスにもなりえます。ファンディングレートのオプションを価格付けするなら、バシュリエが自然な言語です。
暗号資産スポット： 価格は正であり、レバレッジ効果（価格下落時にボラティリティが上昇する）を示します。ここでは対数正規の枠組みの方が自然です。スポットにはBSを、金利とスプレッドにはバシュリエを使いましょう。
左のパネルはバシュリエのパスを示します：加法的なノイズで対称的、一部はゼロを越えます。右のパネルはBSのパスを示します：乗法的なノイズで常に正、分布は右に長い裾を持ちます。パスを追加して、バシュリエのパスがどれだけ負に転じるかを観察してください。これが、金利にとっては実は利点となる「バグ」です。
偽のスキュー問題
バシュリエの市場をBlack-Scholesの尺度でクォートすると、存在しないスキューが見えます。その「スキュー」は単なる座標変換にすぎません。これがこのページで最も重要な教訓です。
フラットなノーマル・ボラティリティでオプションを価格付けするマーケットメイカーを想像してください。すべての行使価格に$20のノーマル・ボラティリティが与えられます。スキューなし、スマイルなし、たった1つの数値です。
次に、トレーダーが標準的なIVソルバーでその価格をBSインプライド・ボラティリティに変換します。低い行使価格のオプションはより高いBSボラティリティを示し、高い行使価格のオプションはより低いBSボラティリティを示します。トレーダーはプットのスキューを目にし、市場が暴落リスクを織り込んでいると考えます。
しかし、この市場に暴落リスクは存在しません。このスキューは、正規の世界を無理やり対数正規のレンズを通して見たことによるアーティファクトです。原資産$80に対する$20の変動はBS換算で25%です。原資産$120に対する同じ$20の変動はわずか16.7%です。パーセンテージは異なりますが、ドル建ての変動は同じです。
これが実務で重要な理由は次のとおりです：
スキューを誤診しかねません。 金利デスクがノーマル・ボラティリティでクォートし、あなたがそれをBSに変換すると、100%アーティファクトのスキューが見えます。それを取引してはいけません。
SABRとのつながり。 SABRのベータ・パラメータは、バシュリエからBSまでのスペクトラム上の位置を制御します。Beta = 0 は完全なバシュリエ（正規）、Beta = 1 は完全なBS（対数正規）です。beta = 0 のときにBS換算で見える「スキュー」の大部分は、同じ座標系のアーティファクトです。
黄金律： スキューを取引する前に、それが市場の特徴なのかモデルの特徴なのかを自問してください。ある座標系ではフラットでも、別の座標系ではスキューして見えることがあります。
次に読むべきページ：
Black-Scholes -- 対数正規側の対応モデル
SABRモデル -- beta で正規〜対数正規のスペクトラムを選択
CEVモデル -- beta パラメータで正規と対数正規を橋渡し
スキュー -- モデルのアーティファクトと市場の特徴を切り分ける