ゼロから学ぶBatesモデル
1/5Heston + ジャンプ = Bates
Hestonは長期のスマイルを説明します。確率的分散が滑らかなスキューと期間構造を生み出すためです。Mertonは短期のスマイルを説明します。価格プロセスのジャンプが短期満期で急峻なウィングを生み出すためです。Batesはこの両方を1つのモデルに統合したものです。
本質的な問題はシンプルです。Hestonは連続的に動きます -- スポット価格が瞬間移動することはありません。そのため、Hestonだけでは、1週間物の25デルタのプットが80%のボラティリティで取引される一方、1年物が55%で取引される理由を説明できません。短期ウィングの急峻さには、連続的な拡散では実現できないもの、すなわち瞬間的なギャップが必要です。
Merton (1976) は、幾何ブラウン運動にポアソン・ジャンプ過程を加えることでギャップ問題を解決しました。しかしMertonには確率的分散がないため、期間構造のダイナミクスを再現できません。1つの満期はうまくプライシングできても、カーブ全体では破綻してしまいます。
Bates (1996) はこの2つを結合しました。その結果、現実的なダイナミクスと扱いやすいプライシングの両方を必要とするエキゾチック・デスクの主力モデルとなっています。
2行目: 分散はHestonと同じCIR過程に従います。ここでは何も変わりません。
3行目: 相関構造は同じです。ρは依然として滑らかなスキューを駆動します。
でこぼこ道を走る車を想像してください（Heston：路面の状態が確率的に変化します）。そこにランダムに現れる穴を加えます（Mertonのジャンプ：車が突然落ち込みます）。でこぼこにはサスペンションが、穴にはエアバッグが必要です。Batesはその両方を提供します。
数学的な重要ポイント：ジャンプ成分は分散プロセスから独立しているため、Batesの特性関数はHestonの特性関数にMertonのジャンプ因子を掛けたものにすぎません。つまりプライシングは準解析的なままで、フーリエ反転が引き続き使えます。バニラにはモンテカルロは不要です。
追加パラメータの役割
BatesはHestonの5つのパラメータ(κ, θ,σ, ρ, v₀)を引き継ぎ、3つのジャンプパラメータを追加します:λ (ジャンプ頻度)、μⱼ (平均ジャンプサイズ)、そして σⱼ (ジャンプボラティリティ)。合計8つのつまみです。
λ (ラムダ) -- ジャンプ強度。 1年あたりの予想ジャンプ回数です。λ = 0 は純粋なHestonに戻ります。λ = 2 は平均しておおよそ年2回のジャンプを意味します。λ が高いほど、市場がより多くのギャップイベントをオプションに織り込むため、ウィングがさらに持ち上がります。
μⱼ (mu-J) -- 平均ジャンプサイズ。 ジャンプの平均対数リターンです。負の μⱼ はジャンプが下方に偏っている(クラッシュジャンプ)ことを意味します。これは非対称性を生み出します。プット側のウィングがコール側のウィングよりも急峻になります。クリプトでは、μⱼ は通常 −0.05 and−0.15 の間にあり、清算の連鎖やフラッシュクラッシュを反映しています。
σⱼ (sigma-J) -- ジャンプボラティリティ。 ジャンプサイズの標準偏差です。平均ジャンプがゼロであっても、ゼロでない σⱼ は左右対称のウィングの持ち上がりを生み出します。これはランダムなサイズのジャンプによる純粋な過剰尖度です。より大きなσⱼ はより太いテールを意味します。
上でジャンプのオン・オフを切り替えてみてください。ジャンプがオフのとき、純粋なHeston（青の破線）が見えます。オンにするとウィングが持ち上がります――特に左のウィングです。なぜなら μⱼ < 0 がジャンプを下方向にバイアスさせるからです。λ を3や4まで上げると効果は劇的になります。μⱼ = 0 に設定すると、持ち上がりが左右対称になることに気づくでしょう。
重要な洞察は次のとおりです。ρ （Heston）と μⱼ（ジャンプ）はどちらもスキューを生み出しますが、まったく異なるメカニズムを通じてです。ρ はスポットとボラティリティの相関を通じてスキューを生み出し、これは時間をかけて徐々に構築されます。μⱼ は方向性のあるジャンプを通じてスキューを生み出し、これは瞬時に現れます。これがBatesが短期側と長期側を同時にフィットできる理由です。
期間構造の分解
短期のスマイルは主にジャンプによるものです。長期のスマイルは主に確率的ボラティリティによるものです。この分離こそがBatesの存在理由です -- どちらの成分も単独では期間構造全体にフィットできません。
そのメカニズムは分散のスケーリングです。拡散分散はTに比例して蓄積されます。1年にわたって、拡散成分は積み上がる時間があります。ジャンプ分散もTとともにスケールします（λ · T 個の期待ジャンプ）が、個々のジャンプは満期までの期間に関係なく同じサイズです。
T = 7 日では、拡散分散が蓄積される時間はほとんどありませんが、単一のジャンプは依然としてフルサイズであなたを直撃し得ます。1週間の −10% のクラッシュは、1年での−10% のクラッシュと同じペイオフへの影響を持ちます――しかし、そのクラッシュは365日にわたるよりも7日にわたる総期待変動のはるかに大きな割合を占めます。
T = 1年では、確率的ボラティリティが分散パスの分布全体を探索する時間があります。平均回帰、ボラティリティ・クラスタリング、スポットとボラティリティの相関がすべて効いてきます。ジャンプ成分は依然として存在しますが、総分散に占める割合は小さくなります。
上の4つのチャートを見てください。T = 7d では、赤い領域（ジャンプの寄与）がウィングを支配しています。T = 1y では、それは細いひとかけらです。λ を増やして、クロスオーバー点がシフトするのを見てみましょう――より頻繁なジャンプは、ジャンプの寄与をカーブのさらに外側へ押し出します。
この分解には直接的なトレーディング上の含意があります。ジャンプ・リスクがミスプライスされていると考えるなら短期を取引し、分散のダイナミクスがミスプライスされていると考えるなら長期を取引します。Batesはこれらのベットを分離するフレームワークを提供します。
Batesのキャリブレーション
8つのパラメータは多すぎるほどです。異なる組み合わせが似たようなスマイルを生成する可能性があり、オプティマイザが不安定な領域に迷い込むこともあります。実務的なキャリブレーションには規律が必要です。
標準的なアプローチは2段階の戦略です：
ステージ1：観測可能なものを固定します。 v₀ は現在のATMインプライド分散から固定されます。ドリフト率 r は既知です。残るは7つの自由パラメータです。
ステージ2：グループごとにキャリブレーションします。 まず κ, θ, σ, ρ を長期のスマイル（ジャンプの寄与がほとんどない部分）にフィットさせます。次にλ, μⱼ, σⱼ を短期の残差にフィットさせます。数回反復して精緻化します。
このアプローチが機能するのは、2つのパラメータ・グループがサーフェスの異なる部分を制御するためです。Hestonパラメータは長期側を、ジャンプ・パラメータは短期側を形作ります。順番にフィットさせることで、各最適化ステップの次元を削減できます。
オーバーフィッティングの罠。 パラメータが多いほど、常にインサンプルのフィットは改善します。しかし8つすべてを自由に動かすと、ノイズにフィットしてしまうリスクがあります。その兆候は、似たようなスマイルを生み出しながら日々劇的に変化するパラメータです。もし λ が連続したキャリブレーションを通じて0.5と3.0の間で振動するなら、あなたのフィットは不安定です。
上のチャートは現実的な比較を示しています。Heston（オレンジ、5パラメータ）はATM付近にはよくフィットしますが、ディープOTMのプットを系統的に外します。Bates（緑、8パラメータ）はウィングを正確に捉えます。ジャンプ成分が、Hestonでは届かない急峻な短期スキューを捉えるためです。
メインのプロットの下にある残差チャートを見てください。Hestonの残差はウィングで大きく系統的です -- モデルは単にノイズが多いのではなく、バイアスがあるのです。Batesの残差はより小さく、よりランダムです。これは単なるオーバーフィッティングではなく、真の改善の証拠です。
経験則：3つのパラメータを追加してSSEが50%以上減少するなら、その追加の複雑さは十分に見合っています。減少が10〜20%程度なら、Hestonに留まりウィングの誤差を受け入れる方が良いかもしれません。
暗号資産の主力モデル
Batesは暗号資産のエキゾチック・デスクの標準モデルです。暗号資産市場は確率的ボラティリティと頻繁なジャンプの両方を示すためです。清算の連鎖、デペッグ、取引所の障害は、Hestonだけではプライシングできない実在のギャップ・リスクを生み出します。
暗号資産のボラティリティ・サーフェスには、Batesがうまく扱える特徴的な性質があります：
持続的なボラティリティ・レジーム。 BTCは何週間も30%のIVにとどまり、その後、単一の清算カスケードで80%へ急変することがあります。低いκ （遅い平均回帰）と高い v₀の組み合わせが、ショック後の環境を捉えます。これはHeston成分がその役割を果たしているのです。
頻繁なギャップ変動。 10%のイントラデイのクラッシュは株式では稀ですが、クリプトでは年に何度も起こります。これらは単なる大きな拡散的変動ではなく、本物のジャンプです。それらはどれだけのσ （ボラティリティのボラティリティ）でもマッチできない極めて急峻な短期のプットウィングとして現れます。ジャンプ成分がこれを処理します。
双方向のジャンプ。 ジャンプがほぼ常に下方向である株式市場とは異なり、クリプトには大きな上方向のギャップリスクもあります（ショートスクイーズ、突然のETF承認、取引所への上場）。μⱼ をゼロに近づける（一部のコインではわずかに正にする）ことで、モデルは左右対称のギャップリスクを捉えられます。
上の分散分解は、ATMの総分散が拡散成分とジャンプ成分にどのように分かれるかを示しています。典型的な暗号資産のパラメータでは、ジャンプが総分散の20〜40%を占めることがあります。これは補正項ではなく、一次的な効果です。
Batesの先へ：SLV。 BatesはHestonよりも観測されたサーフェスをうまくフィットしますが、それでもすべての行使価格と満期を正確にフィットすることはできません。本番のエキゾチック・プライシングでは、ほとんどのデスクがその上にローカル・ボラティリティのオーバーレイを重ね、確率ローカルボラティリティ（SLV）モデルを作成します。Batesはダイナミクスのエンジンを提供し、ローカルボラティリティは正確なキャリブレーションを提供します。詳細は SLVリファレンス をご覧ください。
Batesが過剰になるケース： 単一の満期の単一のスマイルを補間するだけなら、 SVI を使いましょう。ダイナミクスなしで完全なサーフェスが必要なら、 SSVI の方が速く安定しています。Batesは、原資産のダイナミクスが必要なとき――エキゾチック・プライシング、経路依存商品のヘッジ、またはスマイルを経済的な構成要素に分解するとき――にその複雑さに見合う価値を発揮します。
Black-Scholes：スマイルなし。単一のボラティリティでは何にもフィットしません。
Heston：滑らかなスマイルのダイナミクス。長期側を扱います。
Bates：滑らかさ + ジャンプ。両端を扱います。
SLV：厳密なキャリブレーション + ダイナミクス。実運用の標準です。
各ステップは複雑さとキャリブレーションのコストを増やします。追加の仕組みが自分のユースケースにとってオーバーヘッドに見合うかを見極めることが腕の見せどころです。
次に読むべきもの：
ゼロから学ぶHeston -- Hestonの5つのパラメータを深掘りします
SVIパラメータ化 -- 暗号資産のボラティリティ・サーフェスにおけるスマイル・フィッティングの標準
SSVI -- 裁定機会のないサーフェス全体のパラメータ化
補間手法 -- 全手法の比較