セクション 1
コールオプションとは？
コールオプションとは選択権です：後で固定価格 K で買うことも、見送ることもできます。この一点だけがペイオフの形状全体を生み出します。
原資産が行使価格を下回って満期を迎えたら、オプションは無視します。上回った場合は、より安い固定価格で買い、その差額を得ます。
スライダーをドラッグしてください。K を下回るとペイオフはゼロ — 決して権利行使しません。K を上回るとペイオフは1ドルにつき1ドル上昇します。K のこの折れ目こそがオプションが存在する理由のすべてです。
アナロジー
コンサートチケットに少額の予約料を払うことを考えてみてください。転売価格が高騰すれば、その予約は価値があります。価格が低いままなら、見送ります。オプションのプレミアムはその予約料です。
セクション 2
5つの入力
数式を書く前に、各記号を退屈に感じられるようにしましょう。記号が謎のままなら、モデル全体が謎のままです。
下の各スライダーを動かして、コール価格がどう反応するか見てください。すべての入力には押す方向があります。数式に名前をつける前に感覚をつかみましょう。
コール価格
$11.91
プット: $7.03
d₁ = 0.3500 · d₂ = 0.1500
一文でのまとめ： Black-Scholes は、原資産が今どこにあるか (S)、どこで買えるか (K)、どれだけ時間があるか (T)、将来がどれだけ広がりうるか (σ)、待つことにどれだけコストがかかるか (r) に価値が依存する権利を価格付けします。
セクション 3
2つの大きな部分
ほとんどの人は最終的な数式に最初に出会います。それは逆です。まずストーリーを学び、それからその上に記号を置きましょう。
下の3つの層をクリックして進んでください。英語が数式に変わる様子を見てください。
考え方
コール価格 = 原資産のような上昇余地 − 後で買うコスト
C = S · N(d₁) − K · e⁻ʳᵀ · N(d₂)
数式の任意の部分にカーソルを合わせると、その意味が表示されます。
最初の部分は、原資産のような値上がり益をどれだけ得られるかです。2番目の部分は、そのために支払うべきもので、今日まで割り引かれています。その差額がオプションの価値です。
N(d₁) と N(d₂) は 0 から 1 の間の重みです。正規分布から得られます。次にそれらを紐解いていきます。
セクション 4
d₁ と d₂ とは？
ほとんどの人が怖がる部分です。神秘的なものではありません。スコアカードです — オプションの状況がどれだけ有利かを、満期1回分のボラティリティの単位で測ります。
N(d) は釣鐘曲線の d より左側の面積です。スライダーをドラッグして、影付き部分 — 重み — がどう変化するか見てください。
0.35
N(d₁)0.6701
N(d₂)0.5793
d₂ = d₁ − σ√T0.15
d₁ の分子
ln(S/K) + (r + σ²/2)T
ln(S/K) — 対数スケールで、行使価格の上か下か？
(r + σ²/2)T — オプションの存続期間にわたるドリフトとボラティリティの補正。
d₁ の分母
σ√T
オプション満期1回分のボラティリティ。これがすべてを測る物差しです。分子は状況がどれだけ有利かを教え、分母はそれを「揺らぎ」の単位で表現します。
d₂
d₂ = d₁ − σ√T
同じスコアカードから、満期1回分のボラティリティを引いたもの。N(d₁) は原資産のような部分に重みをつけます。N(d₂) は行使価格支払い部分に重みをつけます。
セクション 5
完全な例を計算する
数字が現実味を与えます。分かりやすいデフォルト値から始めて、入力を変え、すべての中間ステップが更新される様子を見てください。
ln(S/K) = ln(100/100) = 0.0000▸
ちょうど行使価格 — 組み込まれたマネーネスの優位性はありません。
(r + σ²/2)T = (0.05 + 0.0200) × 1 = 0.0700▸
オプションの存続期間にわたるドリフト＋ボラティリティ補正です。
σ√T = 0.2 × 1.0000 = 0.2000▸
存続期間1回分のボラティリティ — 測定の基準です。
d₁ = 0.0700 / 0.2000 = 0.3500▸
この設定は0.35回、有利な方向に振れます。
d₂ = 0.3500 − 0.2000 = 0.1500▸
同じ値から、存続期間1回分のボラティリティを引いたものです。
N(d₁) = 0.6701, N(d₂) = 0.5793
正規分布から得られる2つのウェイトです。
C = 100 × 0.6701 − 100 × e^(-0.0500) × 0.5793▸
$67.01のアップサイドから、割引後コスト$55.10を差し引いたものです。
C = $11.91
Black-Scholesによるコール価格です。
セクション 6
なぜこの価格で他はないのか
Black-Scholes は推測ではありません。その根幹は複製です：原資産と現金を使ってオプションを複製できるなら、オプションとその複製は同じコストでなければなりません。
1期間に単純化します。原資産は $120 または $80 になります。K = 100 のコールは $20 または $0 を支払います。それらのペイオフを正確に一致させる原資産と現金のポートフォリオを構築できるでしょうか？
複製ポートフォリオ
120Δ + B = 20上昇時のペイオフに一致させる
80Δ + B = 0下落時のペイオフに一致させる
Δ = 0.5, B = −40株式を0.5単位、$40を借入
Cost = 0.5 × 100 − 40 = $10オプションも $10 でなければならない — さもなくば裁定機会が生じる
複製のコストは $10 です。オプションも $10 でなければなりません — さもなければ誰かが安い方を買い、高い方を売って、リスクフリーの利益を得ます。これがこのモデルが雰囲気ではなく裁定取引によって規律づけられている.
Black-Scholes はこの複製の論理の滑らかな連続時間版です — 原資産価格が連続的に変化するにつれて無限回適用されます。
セクション 7
記憶から書く
各カードをタップして自分をチェックしてください。4つすべてを埋められれば、数式を完全にマスターしています。
簡単な想起チェック — タップして答えを見てください：
次にどこへ：
インプライド・ボラティリティ — 価格からモデルを逆算する
グリークスリファレンス — 価格をヘッジ感応度に結びつける
プット・コール・パリティ — 次に完全にマスターすべき価格付けの恒等式