ゼロから学ぶCEV
1/51つのパラメータがバックボーン全体を制御する
CEV はおそらくスキューを生み出す最もシンプルなモデルです。1つの指数 -- β -- が拡散係数がスポット水準に応じてどうスケールするかを決定します。それがすべての仕掛けです。
Black-Scholes では、スポットの SDE は dS = σ·S·dW です。ノイズ項は S に比例するため、パーセンテージ・ボラティリティは一定です。CEV はこれを次のように一般化します：
β = 0: の場合は Bachelier / 正規モデルになります。拡散は σ·dW -- 加法的ノイズであり、価格依存性はまったくありません。
0 < β < 1: の場合はその中間になります。拡散は S とともに増加しますが、比例よりも緩やかです。
考えてみてください、β をミキシングボードのつまみのように。右いっぱい（β = 1）では対数正規の世界 -- パーセンテージの揺らぎが一定になります。左いっぱい（β = 0）では正規の世界 -- ドルベースの揺らぎが一定になります。その間はすべてブレンドです。このモデルはジャンプやレジーム、確率的ボラティリティを気にしません。ただ次のことだけを問います：ランダムショックの大きさは価格水準にどう依存するのか？
CEV におけるパーセンテージ・ボラティリティは σ·Sβ−1 です。β < 1, のとき指数は負になるため、S が下落するとパーセンテージ・ボラティリティが上昇します。これがレバレッジ効果であり、CEV スキューの背後にあるエンジンそのものです。追加のパラメータも、追加のノイズ源もありません。ただ指数だけです。
β < 1 はスポットが下がるとボラティリティが上がることを意味します
これがレバレッジ効果です。株式および暗号資産市場では、スポットが下落するとボラティリティが一貫して上昇します。CEV は β < 1 によって、2つ目の確率的ファクターを必要とせず、これを機械的に捉えます。
もし β = 0.5 なら、ローカルボラティリティ関数は σ·√S です。S が 100 から 50 に下落しても、ローカルボラティリティは比例して下がりません -- √(50/100) ≈ 0.71 だけ下がります。しかしスポットは半分に下落しました。パーセンテージ・ボラティリティは実際には上昇します。
この効果は自動的かつ決定論的です。調整すべき相関パラメータも、2つ目のブラウン運動もありません。価格とボラティリティの関係は、単一の指数 β.
これは追加のパラメータなしにインプライド・ボラティリティに負のスキューを生み出します。市場が下落するとボラティリティが機械的に上昇するため、OTM プットの価値が高まります。スマイルのプット側の翼が持ち上がります。
上のシミュレーターがそれを明確に示しています。左パネル：CEV の価格パス。β < 1, のとき、下落するパスは目に見えてノイズが大きくなります -- 低い水準ほど揺れが大きくなります。右パネル：ウィンドウ化された実現ボラティリティを価格水準に対してプロットしたものです。負の傾きがレバレッジ効果です。
設定して β = 1 にするとスキャッタープロットは平坦になります。価格とボラティリティの依存性はありません。それが Black-Scholes の世界です。
設定して β > 1 にすると関係が反転します：ボラティリティは価格とともに上昇します。これは実務では珍しいですが、モデルの全範囲を示しています。
レバレッジ効果は単なるモデル上の珍事ではありません。株式、クレジット、暗号資産の実現データで観測可能です。市場が売り込まれると、実現ボラティリティが急上昇します。CEVによれば、これはボラティリティが独自のランダム過程を持つからではなく、拡散係数が価格水準に機械的に依存するからです。これはスキューを説明する最も安価な方法です。
CEV から得られるインプライド・ボラティリティのスマイル
CEV は完全に次によって制御される特定のインプライド・ボラティリティ形状を生み出します： β。その形状はティルト（傾き）であり、U 字ではありません。CEV はスキューを作れますが、対称的なスマイルを生み出すことはできません。
対応関係は単純です：
β = 1: 平坦なスマイル。スキューもカーブもありません。これが Black-Scholes です。
β < 1: 負のスキュー。プット側の翼が持ち上がり、コール側の翼が下がります。β が 1 より下がるほど、スキューは急になります。
β > 1: 正のスキュー。コール側の翼が上がり、プット側の翼が下がります。株式/暗号資産では稀ですが、一部のコモディティ市場では起こり得ます。
重要なのは、CEV によるスマイルは 単調 であることです。一方向に傾きますが、U 字にはなりません。両側の翼が同時に持ち上がるメカニズムは存在しません。なぜなら、対称的な翼の増強を生み出すボラティリティのボラティリティ（vol-of-vol）や確率的分散が存在しないからです。
上のエクスプローラーは両方の要素を示しています：ローカルボラティリティ関数 σ·Sβ が左側、その結果として得られるインプライドボラティリティのスマイルが右側です。β をドラッグして、両者が一緒に動く様子を見てください。ローカルボラティリティの傾きが、スマイルの傾きを直接的に決定します。
β = 1 のとき、ローカルボラティリティ関数は原点を通る直線（S に比例）になります。スマイルはフラットです。β が 1 を下回ると、ローカルボラティリティ関数は高い S で下向きにカーブします。つまり、価格が高くなるほどプロセスのボラティリティが低下するのです。スマイルは左に傾きます。
SABR のバックボーンとしての CEV
SABR’s forward equation is dF = σ·Fβ·dW₁ に対して線形であることを示しています。これはまさに CEV プロセスそのものです。SABR は、ボラティリティパラメータ自体に対して 2 本目の SDE を付け加えているだけです。
完全な SABR システムは次のとおりです：
2 行目： σ が確率的になりました。 ν （vol-of-vol）は、どれだけ σ がさまようかを制御します。ν = 0 のとき、σ は定数となり、純粋な CEV に戻ります。
3 行目： 2 つのブラウン運動は相関しています。 ρ は、すでに β が与えているものの上に、さらなる傾きを加えます。
つまり CEV は SABR の 決定論的な基礎 です。β 指数はスマイルのバックボーンの形状を制御します。SABR はその上に確率的ボラティリティを加えます：ν は曲率（ウィングの増強）を生成し、ρ は追加の方向性のある傾きを加えます。
実務では、金利デスクはしばしば β を慣例的な値（金利では 0.5、レジームに応じて 0 や 1 の場合もあります）に固定し、その上で観測されたスマイルに合わせて σ, ν, ρ をキャリブレーションします。バックボーンは一度だけ選択され、確率的なオーバーレイは日次でフィッティングされます。
上の比較でそれが視覚的に分かります。実線の緑の曲線は CEV 単独です。単調な傾きになっています。破線の青の曲線は、同じ β ですがゼロでない ν を持つ SABR です。SABR は CEV が生成できない曲率を加えています。
スライダーで ν = 0 に設定して、曲線が完全に重なる様子を見てください。これがその関係を裏付けます：vol-of-vol がゼロの SABR はまさに CEV です。バックボーンは共有されています。
SABR をキャリブレーションする際、β の選択は無害ではありません。それは、観測されたスキューのどれだけがバックボーン（価格依存のボラティリティ）に帰属し、どれだけが確率的なオーバーレイ（ρ の傾き）に帰属するかを決定します。異なる β の選択は、異なる ρ が適合するかによって、フォワードのダイナミクスが影響を受け、その結果ヘッジの挙動にも影響します。CEV を単独で理解することで、β が SABR の内部で実際に何をしているのかを理解する助けになります。
限界と用途
CEV は実際のスマイルをフィッティングするには単純すぎます。しかし、価格依存のボラティリティがどう機能するかを理解するための適切なメンタルモデルであり、あらゆる SABR キャリブレーションの内部に現れます。
CEV にできないこと：
曲率なし。 実際のスマイルには傾きと曲率の両方があります。プットのウィングは急峻で、コールのウィングは持ち上がっています。CEV は単調な傾きを生成しますが、U字型にはなりません。CEV 単独で実際の暗号資産のスマイルをフィッティングしようとすると、ウィングを完全に見逃してしまいます。
期間構造のダイナミクスなし。 CEV には平均回帰も、ボラティリティ・クラスタリングも、レジーム変化もありません。局所ボラティリティ関数は静的です。短期と長期のスマイルは同じ形状を持ち、観測される期間構造の挙動と矛盾します。
ゼロでの吸収。 β < 1, の場合、プロセスはゼロに到達して吸収される可能性があります。これはプライシングにおける技術的な悩みの種であり、特別な境界条件を必要とします。
CEV が得意なこと：
レバレッジ効果を教える。 スポットが下落するとなぜボラティリティが上昇するのかを1つのモデルで説明したいなら、それは CEV です。1つのパラメータ、1つのメカニズム、明快な直感。
SABR バックボーンの選択。 SABR をキャリブレーションする際には、まず β を選択します。CEV が単独で何をするかを理解することで、バックボーンに帰属させているものと確率的オーバーレイに帰属させているものが分かります。
迅速なスキュー近似。 CEV のインプライド・ボラティリティ展開は、β とスキューの急峻さとの間の解析的な関係を与えます。誰かがスキューの数値を提示してきたら、暗黙の β を頭の中で逆算できます。
正規分布対対数正規分布の議論。 金利市場では、ノーマル (β = 0) とログノーマル (β = 1) の提示慣行の選択は現在進行中の議論です。CEV はこれを二者択一ではなく連続的なスペクトルにします。
CEV はこう言います。ランダムショックの大きさは価格水準に依存し、β がその依存の仕方を制御します。スキュー、レバレッジ効果、SABR バックボーンといったその他すべては、この一つの考え方から導かれます。
次に進む先：
SABR モデル -- CEV をバックボーンとして使う確率的ボラティリティの拡張
SVI パラメータ化 -- 本番用サーフェス向けの直接的なスマイルフィッティング
Heston モデル -- 平均回帰する分散を用いる別の確率的ボラティリティ手法
補間手法 -- すべての手法を比較