ゼロから学ぶデルタヘッジ
1/5なぜヘッジするのか？
コールを売ったとします。スポットが上昇すれば損失が発生します。デルタはエクスポージャーの大きさを正確に示します。ヘッジとは、原資産をデルタ分だけ買ってそのエクスポージャーを中立化することです。
デルタ 0.50 のコールを売ったとします。原資産が $1 上昇するごとに、ショートコールは $0.50 の損失を出します。そこで原資産を 0.50 単位買います。これでスポットが上昇しても、ヘッジの利益がオプションの損失をほぼ相殺します。これが デルタニュートラル の状態です。
下のウィジェットで実際の動きを確認できます。スポットを $100 から動かして、裸のショートコールの P&L とヘッジ済みの P&L を比較してください。ヘッジは完全ではありません — 残差として現れるのが ガンマ誤差 であり、これが本レッスンの残りのテーマです。
注目してください。ヘッジ済みの P&L はヘッジなしの P&L よりはるかに小さいものの、ゼロではありません。小さな値動きではヘッジは有効に機能します。大きな値動きでは残差が拡大します — デルタ自体が変化してしまうためです。
ガンマの問題
デルタはスポットの動きに応じて変化します。その変化率がガンマです。大きな値動きの後はヘッジが古くなり、リバランスが必要になります。
デルタをスピードメーター、ガンマを加速度と考えてください。ガンマが高いとき（ATM 付近、満期間近）は、小さな価格変動でもスピードメーターが激しく振れます。ガンマが低いとき（ディープ ITM/OTM）は、メーターはほとんど動きません。
デルタがずれるたびに、ニュートラルに戻すための取引を行います。これが リヘッジ です。下のシミュレーターを進めて実際の仕組みを確認してください。スポットが動き、デルタがずれ、取引を行い、手数料が積み上がります。
ガンマの列に注目してください。ガンマが大きいと、$5 の値動きでも相応のリヘッジが必要になります。取引のたびに手数料がかかります。30 日物オプションの期間中に 20〜40 回リヘッジすることもあり、その手数料は積み重なります。
ヘッジのコスト：½Γ(ΔS)²
リバランス 1 回ごとのガンマ P&L は ½Γ(ΔS)² です。一方、セータはショートオプションのポジションを有利な方向に減価させます。ガンマコストとセータ収入のトレードオフこそが、オプション・マーケットメイキングの核心です。
ガンマをショートしている（オプションを売っている）場合、リヘッジのたびにコストがかかります。相場が乱高下するなかで高く買い、安く売ることになるからです。この 1 回の変動あたりのコストの式は ½ × Γ × ΔS² です。
その代わり、ショートオプションはセータにより毎日価値が減っていきます。それがあなたの収入です。日々のセータ収入が実際の値動きによるガンマコストを上回れば、利益になります。
（リバランス損失）
（日次の時間減価）
値動きサイズのスライダーを動かしてください。小さな値動き＝セータの勝ち、大きな値動き＝ガンマの勝ちです。2 本のバーが等しくなる点が損益分岐となる値動きです。オプションの売り手が静かな相場を好み、荒れた相場を恐れる理由がここにあります。
ヘッジ頻度が重要
頻繁にヘッジすればデルタは小さく保てますが、手数料がかさみます。ヘッジの頻度を下げれば手数料は節約できますが、ヘッジがずれて P&L の分散が大きく膨らみます。
タダ飯はありません。$1 動くごとにヘッジすればニュートラルに近く保てますが、取引のたびに手数料を支払います。$10 動くごとのヘッジなら安上がりですが、調整と調整の間にエクスポージャーが激しく振れる可能性があります。
下のシミュレーターは、同じランダムな価格パスを 3 つの異なるヘッジ閾値で実行します。「新しい価格パス」を何度もクリックして、結果がどう変わるかを確認してください。
何本かパスを試すとパターンが明確になります。タイトなヘッジは安定した（小さな）P&L をもたらします。ワイドなヘッジは大きく振れます — 大きく儲かることもあれば、大惨事になることもあります。ほとんどのマーケットメイカーはその中間で、コストと分散のバランスを取りながらヘッジしています。
実現ボラ vs インプライド・ボラ
これが根本的な賭けです。実現ボラティリティが売った時点のインプライド・ボラティリティを上回れば、ガンマコストがセータ収入を上回り損失になります。実現ボラが下回れば勝ちです。それ以外はすべて細部にすぎません。
インプライド・ボラティリティ 60% でオプションを売るとき、あなたは原資産の実際の変動が年率換算で 60% より小さくなることに賭けています。セータ収入は 60% のボラティリティを前提に計算されています。ガンマコストは、実際に何が起こるかで決まります。
下の 2 つのスライダーを動かしてください。インプライド・ボラが実現ボラを上回ると、緑のセータ線が赤のガンマ線の上に留まり、売り手が利益を得ます。逆にすると売り手は損失を垂れ流します。
これこそが ボラティリティ・リスクプレミアム が存在する理由です。インプライド・ボラは実現ボラを上回る傾向があり、手数料、スリッページ、ギャップリスク、そしてショートガンマの非対称な痛みに対して売り手に報いています。このプレミアムはタダの金ではなく、実際のリスクへの対価です。
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ガンマ — リバランスの必要性を生み出すグリークス
ボラティリティ・レジーム — ボラティリティ・リスクプレミアムが厚いときと薄いとき