変位拡散モデル

変位拡散モデル（シフト対数正規モデルとも呼ばれます）は、ブラック・ショールズの価格軸をシフトするモデルです。フォワード価格 $F$ を直接モデル化する代わりに、$F + d$ を対数正規としてモデル化します。ここで $d$ が変位（ディスプレイスメント）です。これにより、確率的ボラティリティを一切使わず、単なる座標のシフトだけでスキューが生まれます。

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座標のシフトがスキューを生む

負の変位は原資産がゼロを下回ることを許容します（金利には有用です）。正の変位はスマイルを右にシフトします。このシフトがブラック・ショールズの対称性を破り、スキューを生み出します。ATMの水準は変わらず、OTMオプションの価格が変化します。

パラメータを探索する

変位のスライダーを動かして、価格軸のシフトがどのように非対称性を生み出すかを確認してみましょう。ボラティリティのスライダーは全体的な水準をコントロールします。青の破線はシフトなし（ブラック・ショールズ）の場合を示しています。

変位拡散エクスプローラー

変位ゼロ。純粋な対数正規分布 -- フラットなスマイル、スキューなし。

ボラティリティ水準40%

シフトされたプロセスのベース・ボラティリティ

変位 (d)0

負 = 負の価格を許容、正 = 右方向へシフト

変位スライダーを動かして、価格軸のシフトがスキューを生む様子を確認してください。青い破線は参考としてシフトなしのスマイルを示します。

各パラメータの役割

• sigma（ボラティリティ水準）: シフト後のフォワードに適用されるインプライド・ボラティリティです。sigmaが高いほど、すべてのオプションが高くなります。
• 変位 (d): 価格軸をどれだけシフトするか。負の d はプットスキューを生み出します（価格が下落するとボラティリティが上昇）。正の d は緩やかなコールスキューを生み出します。変位がゼロの場合は標準的なブラック・ショールズです。

強みと限界

強み

あなたにとっての意味

負の値を扱える

負の変位を用いると、モデルは負の原資産価格を許容します。これは金利がマイナスになった際に極めて重要でした。

閉形式の価格計算

文字どおり入力をシフトしたブラック・ショールズです。すべてのBS公式、すべてのグリークスがそのまま正確に引き継がれます。

パラメータは2つだけ

ボラティリティ水準と変位。キャリブレーションが簡単で、過学習しにくいです。

限界

あなたにとっての意味

スマイルの曲率がない

CEVと同様に、変位拡散はスキュー（傾き）を生み出しますが、スマイル（曲率）は生み出しません。両ウィングで上向きに湾曲する市場のスマイルにはフィットできません。

線形スキューのみ

生成されるスキューは行使価格全体でほぼ線形です。実際の市場のスキューには曲率があり、特に満期の短いオプションで顕著です。

変位は恣意的

特定の変位の値に経済的な根拠はありません。モデルの洞察ではなく、フィッティング用の調整つまみです。

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ブラック・ショールズからスキューへの最短経路

変位拡散は、ブラック・ショールズにスキューを加える最も手軽な方法です。出発点としては優れていますが、実際の市場ではより多くのパラメータが必要になります。期間構造全体にわたる適切なデルタとベガのヘッジには、より豊かなモデルが必要です。

数式エクスプローラー

インプライド・ボラティリティ、トータル・バリアンス、対数マネーネス、オプション価格の間の変換を行います。

数式エクスプローラー

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

インプライドボラ (σ)

%

インプライド・ボラティリティ

満期までの期間

日

満期までの暦日数

総分散 (w)

0.022225

年率換算分散 (σ²)

0.2704

逆算IV

52.00%

総分散は、SVIなどのモデルがフィットする対象です。時間とともに増えるため、30日間の50%ボラは90日間の50%ボラよりも総分散が小さくなります。

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次に進む前に理解度をテストしましょう。

Q: 負の変位はボラティリティ・スマイルにどのような影響を与えますか？

Q: なぜ2014年から2016年頃の金利市場で変位拡散が人気だったのですか？

💡 ヒント： 回答を見る前に自分で答えてみましょう。

数学的直感を養う

変位拡散をゼロから学ぶインタラクティブレッスン · 前提知識は不要です

このレッスンでは、軸をシフトするトリックを平易な言葉で説明し、変位パラメータがスマイルをどのように変化させるかを示し、モデルをブラック・ショールズの直感に結びつけます。

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関連項目:

• CEVモデル -- もう1つのシンプルなスキューモデル（べき乗則バックボーン）
• SABRモデル -- 本格的な確率的ボラティリティモデル（CEVバックボーン + ボラティリティのボラティリティ）
• スキュー -- スマイルが傾く理由
• 補間手法 -- すべてのスマイルモデルの比較