ゼロから学ぶディスプレイスト・ディフュージョン
1/5原点をシフトすると、スマイルが生まれる
ブラック・ショールズは、スポット価格が現在の水準から対数正規的に拡散すると仮定します。変位拡散が変えるのは一点だけ、原点をシフトすることです。拡散は依然として対数正規ですが、それが乗っている軸が移動しています。
SDE はきわめてシンプルです：
これがモデルのすべてです。標準的な BS に追加パラメータ d を 1 つ加えただけです。拡散係数は S ではなく (S + d) に比例します。このシフトが対数正規スマイルの対称性を崩し、スキューを生み出します。
なぜ原点をシフトするとスキューが生じるのでしょうか。シフトされた変数のパーセンテージ・ボラティリティは σ ですが、S 自体のパーセンテージ・ボラティリティは水準によって変化するからです。S が低いとき、S + d は S に対して相対的に大きくなるため、パーセンテージベースの実効ボラティリティは高くなります。S が高いとき、変位 d の影響は小さくなり、BS のケースに近づきます。
別のゼロ点から測っていると想像してください。0 から測る代わりに、−d から測るのです。原資産は変わっていませんが、物差しが変わっています。この基準系の変化だけで、傾いたスマイルを生み出すのに十分なのです。
変位パラメータ
変位 d が唯一の調整つまみです。スキューの方向と大きさを制御します。d の働きを理解することは、このモデル全体を理解することです。
d > 0（正の変位）： 原点が右にシフトします。与えられた σ に対して、低い価格ほど実効ボラティリティが大きくなり（S + d が S に対して相対的に大きいため）、高い価格ほど小さくなります。結果：インプライド・ボラティリティ曲線は左から右へ下向きに傾きます。これが負のスキューで、株式市場や暗号資産市場と同じ方向です。
d < 0（負の変位）： 原点が左にシフトします。今度は高い価格ほど比例的に大きなボラティリティを受けます。結果：正のスキューです。これはまれですが、価格とともにボラティリティが上昇する市場（一部のコモディティなど）をモデル化できます。
d = 0： シフトなし。ブラック・ショールズに戻ります。フラットなスマイルです。
上のスライダーをドラッグしてみてください。d を大きくするにつれてスマイルが徐々に傾くのがわかります。変位拡散のスマイルには曲率がなく、ウィングではほぼ線形です。これが根本的な限界です。DD は傾きは作れますが、実際の市場に見られる U 字型は作れません。
変位拡散 = シフトされたブラック・ショールズ
DD を非常に有用にしている実務上の洞察がこれです。新しい価格式は不要で、シフトした入力で標準的なブラック・ショールズを実行するだけです。S を (S + d) に、K を (K + d) に置き換えれば完了です。
ロジックは単純です。S̃ = S + d を定義します。すると SDE は dS̃ = σ·S̃·dW になり、これはシフトした変数についての単なる幾何ブラウン運動です。標準的な BS が S̃ に、行使価格 K̃ = K + d.
だからこそ、マイナス金利時代の金利デスクは DD を素早く採用したのです。新しいソフトウェアは不要でした。入力にシフトを加えるだけで、ブラック・ショールズのインフラ全体をそのまま稼働させ続けました。シフトは通常、ATM のボラティリティと追加の 1 点から 1 日 1 回キャリブレーションされていました。
グリークスもシフトします。デルタはシフトされたオプションの BS デルタです。ガンマは BS ガンマ、ベガは BS ベガです。唯一の注意点は、ヘッジを計算する際に感応度を元の（シフトされていない）座標に戻す調整が必要なことです。
CEV および SABR との関係
変位拡散は CEV モデルを線形化したものです。β = 1 にシフトパラメータを加えた SABR は、近似的に変位拡散になります。この関係を理解すれば、モデル階層のなかで DD がどこに位置するかが正確にわかります。
CEV（分散弾性度一定モデル） は dS = σ·Sᵝ·dW を使い、ここで β は弾力性です。β = 1 のとき、それは BS です。β < 1 のとき、ボラティリティは低い S で高く、高い S で低くなります。これは DD と同じ定性的な挙動です。
つながり: Sᵝ を S = F の周りで一次テイラー展開すると、β と F に依存する特定の d について、おおよそ (S + d) が得られます。つまり DD はフォワード周りでの CEV の線形化近似です。両者は ATM 近傍ではほぼ同一のスマイルを生成し、遠いウィングで乖離します。
2 つの曲線が ATM 付近では重なり、ウィングでは乖離することに注目してください。DD は行使価格に対してほぼ線形なスマイルを生みます。CEV はべき乗則のバックボーンが曲がるため曲率を生みます。ATM から数ストライク以内の実務上のほとんどの用途では、両者は互換的に使えます。
SABR との関係： SABR モデルで β = 1 の場合は対数正規 SABR です。フォワードにシフトを加えたシフト付き SABR は、変位した変数上の SABR(β = 1) となります。ボル・オブ・ボルがゼロの極限（ν = 0）では、これは正確に変位拡散に帰着します。つまり DD はシフト付き SABR の退化ケース、そのファミリーで最も単純なメンバーなのです。
だからこそ DD は、BS にスキューを加える最も単純な方法と呼ばれるのです。追加パラメータは 1 つ、傾きの方向は 1 つ、そして既存の BS インフラとの完全な互換性が得られます。曲率、ウィング、確率的ダイナミクスが必要になったら、CEV、SABR、Heston に進みます。
それで十分なとき
DD はブラック・ショールズの 1 パラメータ拡張です。それが強みでもあり限界でもあります。いつ使うべきか、いつ次に進むべきかを知っておきましょう。
DD を使うべき場面：
1. 手早いスキュー調整が必要で、完全なモデルは要らないとき。デスクでの会話用に大まかなスキューを提示する、より複雑なモデルのサニティチェックを行う、あるいはウィングよりも傾きが重要なバニラのブックを価格付けするといった場面です。
2. 原資産がゼロやマイナスになり得るとき（金利、スプレッドなど）。元の変数がゼロを横切っても、変位によってシフトされた変数は正に保たれます。これが典型的なユースケースです。マイナス金利時代の金利デスクは、シフト付き対数正規に頼りきっていました。
3. 既存の BS インフラをそのまま維持したいとき。新しい数値計算手法もモンテカルロもフーリエ逆変換も不要です。入力をシフトするだけです。
DD から先に進むべき場面：
1. スマイルの曲率が必要なとき。DD が生むのはほぼ線形のスキューです。実際の市場のスマイルは、両ウィングに凸性を持つ U 字型です。DD ではそれを捉えられません。
2. 動的なスマイルの挙動が必要なとき。DD は静的なモデルで、変位は固定です。スポットが動いたときにスマイルがどう動くかについては何も語りません。動的ヘッジには SABR、Heston、SLV が必要です。
3. エキゾチックを価格付けするとき。経路依存型オプションには、スナップショットだけでなくボラティリティのダイナミクスを記述するモデルが必要です。DD にはボラティリティのダイナミクスがありません。
特に暗号資産に対しては、DD は単純すぎます。暗号資産のスマイルは急峻で、湾曲し、動的です。DD は大まかな最初の傾きを与えることはできますが、本番のサーフェスで使われるのは SVI, SABR、あるいはより高度なモデルです。
モデル階層をはしごのように考えてください：ブラック・ショールズ（フラットなスマイル）→ 変位拡散（傾いたスマイル）→ CEV/SABR（ダイナミクスを持つ湾曲したスマイル）→ Heston/SLV（豊かな構造を持つ確率的ボラティリティ）。段を上がるごとに複雑さは増しますが、説明力も増します。DD は BS のすぐ上にある最初の段です。本番で使うことがなくても知っておく価値があります。スキューとは本質的に、ボラティリティが原資産の水準に対してどうスケールするかの問題だと教えてくれるからです。
次に読むべきもの：
CEV モデル――湾曲したスマイルを持つ、DD の非線形の親戚です
SABR モデル――バックボーンの上に確率的ボラティリティを載せた、本番環境の標準です
SVI パラメータ化――スマイルを直接フィッティングする、暗号資産の標準です