ゼロから学ぶHeston
1/5分散は生きている
ブラック・ショールズは、ボラティリティを契約に刻印された固定値のように扱います。それは決して変化しません。しかし現実の世界がそのように動かないことは明らかです。ヘストンは、分散に独自の確率微分方程式を与えることでこれを修正します。
Black-Scholes では、スポット価格は一定の σを持つ一つの SDE に従います。あらゆるオプション、あらゆる行使価格、あらゆる満期が同じボラティリティを使います。このモデルは内部的には整合的ですが誤りです。市場はすべての行使価格に対して異なる σ を提示します。それがスマイルであり、BS はそれを生成できません。
スポットを車、分散を路面と考えてください。BSでは、道路はどこまでも完璧に滑らかなアスファルトです。ヘストンでは路面そのものが変化します -- 砂利のときもあれば、氷のときも、新しい舗装のときもあります。車はその時走っている路面に反応します。道が荒れるほど、走行は不安定になります。
Heston はこう言います。スポットは BS のように動くが、一定ではなく変動する √v を使うσ。そして分散は、それ自身の平均回帰型の平方根過程に従います:
2行目: 分散はそれ自身のドリフト（θへ引き寄せる）とそれ自身のノイズ（σでスケールされる）を持ちます。
3行目: 2つのブラウン運動は相関しています。これがスキューの背後にあるエンジンです。
その2番目の方程式はCIR（Cox-Ingersoll-Ross）過程です——金利にも使われるのと同じ過程です。組み込みの下限を持っています:√vの拡散項はvがゼロに近づくにつれて縮小し、（適切な条件下では）分散がマイナスになるのを防ぎます。
その結果、ボラティリティは急騰し、減衰し、クラスター化し、スポットと連動して動くことができます。これらのパターンはすべて実際の市場で観察されます。BSはいずれも再現できません。ヘストンは再現できます。
5つのパラメータ
ヘストンにはちょうど5つの自由パラメータがあります。それぞれが市場の挙動について異なるストーリーを語ります。ダッシュボードのように読み取れるようになりましょう。
κ (kappa) —— 平均回帰速度。 分散がその長期水準へどれだけ強く引き戻されるか。高い κ はボラティリティのスパイクが短命であることを意味します：過程が素早く戻ります。低い κ はボラティリティのレジームが持続することを意味します。クリプトでは、κ は低くなりがちです——ショックの後もボラティリティが高いままです。
θ (theta) —— 長期分散。 時間とともに分散が引き寄せられる水準。もし √θ を取れば、おおよそ長期のATMボラティリティが得られます。BTCの場合、これは通常、年率で50〜70%あたりです。
σ (sigma) —— ボラティリティのボラティリティ（vol-of-vol）。 分散過程そのものがどれだけ不規則であるか。σ = 0のとき、スマイルはまったくありません——決定論的なボラティリティの世界に戻ります。σ が増加すると、スマイルの両翼が持ち上がります。次のように考えてください：分散のランダム性が増える＝テールが太くなる＝OTMオプションが高くなる。
ρ (rho) —— スポットとボラティリティの相関。 スポットの動きとボラティリティの動きの間の方向性のリンク。負の ρ はスポットが下がるとボラティリティが上がることを意味します。これはスキューにとって最も重要な単一のパラメータです。次のセクションで詳しく取り上げます。
v₀ —— 初期分散。 分散が今どこにあるか。もしv₀ が θ を上回っている場合、短期オプションは現在のストレスを織り込む一方、長期オプションは正常な水準へ戻る傾向があります。ボラティリティのスパイクの後、v₀ >θ となり、期間構造が逆転します。
上のスライダーをドラッグしてください。一度に1つのパラメータに集中してください。最大の洞察は次のとおりです:ρ はスマイルを左または右に傾けます。 σ はそれを広げます。 κ/θ/v₀ 水準と期間構造を設定します。
相関がスキューを生む仕組み
これがヘストンの中核となる数学的洞察です。負のρは、スポットが下落すると分散が上昇しやすいことを意味します。この1つの関係だけで、株式市場や暗号資産市場で見られる左に偏ったスマイル全体が生み出されます。
そのメカニズムをステップごとに見ていきます：
1. スポットが下落する（dW₁ がマイナス）。
2. なぜなら ρ < 0、dW₂ は正の値になる傾向があります。
3. 正のdW₂ は分散を押し上げます。
4. 分散が高いほど、原資産のボラティリティが高くなります。
5. OTMプット（低い行使価格）がイン・ザ・マネーで満期を迎える可能性が高くなります。
6. 市場はそれらを高く評価します。スマイルの左翼が上昇します。
逆も成り立ちます：スポット上昇、ボラティリティ低下。コール側のオプションはボラティリティのプレミアムを一部失います。そのため、右側のウィングは通常、左側より平坦になります。
上の3つのプリセットを切り替えてみてください。違いは劇的です：
ρ = −0.7: 強い左スキュー。これは株式市場やクリプト市場に見られる形です。市場が下落するとボラティリティが急上昇するため、下方保護は高価になります。
ρ = 0: 対称的なスマイル。スポットとボラティリティの間に方向性の選好はありません。vol-of-volによる純粋な曲率が得られますが、傾きはありません。
ρ = +0.3: 右スキュー。上方のオプションが相対的に高価になります。これは実際には稀ですが、供給ショックが価格と不確実性の両方を同時に押し上げるコモディティ市場で発生することがあります。
ρ は直接的に バンナ エクスポージャーに対応します。バンナは、ボラティリティの変化に対するデルタの感応度です。ρ が強く負の場合、OTMプットは大きな正のバンナを持ちます。つまり、ボラティリティが上昇するとそのデルタはより負になります。これが、売り局面でショートプットのポジションがより危険になる理由です。これらはショートバンナだからです。
特性関数
ほとんどの確率的ボラティリティ・モデルは、価格計算にモンテカルロ・シミュレーションを必要とします。ヘストンには裏技があります：既知の特性関数のフーリエ逆変換によってオプションを価格付けできるのです。シミュレーションは不要です。
標準的なブラック・ショールズのコール価格式は次の形をしています C = S·N(d₁) − K·e−rTN(d₂). Hestonは類似した構造を持ちます：
重要な対象は 特性関数 φ(u) です。これは満期における対数スポット価格の確率分布に関するすべてを符号化します。周波数空間における分布の指紋のようなものと考えてください。
なぜこれが機能するのか？3つのステップです：
1. モーメント母関数。 Heston SDEはアフィン（状態変数において線形）であるため、そのモーメント母関数は閉形式で解くことができます。これがHestonを特別なものにしている数学的な偶然です。
2. 特性関数 = 虚軸上のMGF。 特性関数は φ(u) = E[eiu·X] where X = ln(ST). MGFが得られれば、次が得られます φ.
3. 密度を求めるために逆変換し、価格を求めるために積分する。 標準的なフーリエ逆変換により、次からリスク中立密度を復元します φ。その密度をペイオフに対して積分すると、オプション価格が得られます。この積分は一次元であり、マイクロ秒単位で収束します。
その結果、完全なスマイルを数分ではなくミリ秒で計算できます。これによりキャリブレーションが実用的になります。オプティマイザ内でこの積分を数千回評価することで、観測されたスマイルに5つのパラメータをフィットさせられます。
Heston（1993）以前、確率ボラティリティモデルは存在していましたが実用的ではありませんでした -- 単一のオプションを価格付けするためにパスをシミュレートしなければならなかったのです。Hestonの特性関数は、確率ボラティリティをトレーディングデスクで使えるものにしました。後継のすべてのモデル（Bates、ダブルHeston、rough Bergomi）は、このフーリエ価格付け構造を保持または近似しようとしています。
ヘストンが破綻するとき
ヘストンはエレガントですが、現実的な限界があります。分散プロセスはゼロに触れる可能性があり、スマイルの形状は暗号資産には硬直的すぎ、5パラメータのフィッティング問題は局所最適解の地雷原です。
フェラー条件。 分散が厳密に正であり続けるためには、次が必要です：
実際には、フィットされたHestonパラメータはしばしばフェラー条件に違反します。市場はフェラー条件が許容するよりも多くのvol-of-vol（σ）を求めます。違反すると、分散過程はゼロに触れる可能性があり、「反射」または「吸収」されなければなりません。これは数値計算上の頭痛の種を生み、ウィングにおいてモデルの信頼性を低下させます。
σ を引き上げて、フェラー条件が破れる様子を観察してください。赤いパスはゼロに達します。実際のプライシングエンジンでは、このゼロ接触には特別な処理が必要となり、計算が遅くなるうえに微妙な誤差が入り込みます。
クリプトのスマイルは急峻すぎます。 短期のクリプトオプションは、しばしば極端に急峻なスキューと広いウィングを持ちます。HestonのCIR分散過程は滑らかすぎてこれを捉えることができません。モデルのウィングの挙動は一定の傾きに近づきますが、実際のクリプトのウィングはそれよりも急峻です。これが、クリプトデスクが次を使う理由です SVI または SSVI を使い、Hestonは本番用のフィッティングエンジンではなく概念的なツールとして扱ってください。
5パラメータのフィッティングは不安定です。 異なるパラメータの組み合わせがほぼ同一のスマイルを生み出すことがあります。オプティマイザには複数の局所最小値が存在します。日々のキャリブレーションでは、似たような価格を生み出しながらも、まったく異なるパラメータセット間を飛び移ることがあります。これはグリークスがどのパラメータセットに落ち着いたかに依存するため、ヘッジを信頼できないものにします。
これらの問題を解決する拡張:
Bates = Heston + ジャンプ。 スポットプロセスにジャンプ成分を追加すると、非現実的な σ の値を必要とせずに、より太い短期のウィングが得られます。ジャンプ強度とサイズは追加のパラメータをもたらしますが、特性関数は依然として準閉形式を持ちます。
確率的ローカルボラティリティ (SLV)。 Hestonスタイルの確率的分散と、ローカルボラティリティのオーバーレイを組み合わせます。（ローカルボラティリティから）観測されたサーフェスへの正確なキャリブレーションと、（確率的成分から）現実的なダイナミクスの両方が得られます。これは多くの本番デスクが実際に運用しているものです。
Rough Bergomi。 滑らかなCIR分散プロセスをフラクショナル・ブラウン運動（Hurstパラメータ H が0.1付近）に置き換えます。分散のパスは粗くギザギザになり、観測されるボラティリティの挙動によく一致します。その代償として、閉形式の特性関数がありません。
次に進む先：
SVIパラメータ化 -- 暗号資産のボラティリティ・サーフェスにおけるスマイル・フィッティングの標準
SABRモデル -- 平均回帰のない確率的ボラティリティ、よりシンプルなフィッティング
Rough Bergomi -- 分数確率的ボラティリティ、ラフなパス
補間手法 -- 全手法の比較