ボラティリティ・サーフェスの補間手法

情報

このページはボラティリティ・サーフェスの構築方法の関連ページです。補間がなぜ重要なのかの背景については、まずそちらをご覧ください。

ボラティリティ・サーフェスにはギャップがあります。補間はそれを埋めるものです。手法の選択によって、得られるサーフェスが滑らかで、アービトラージ・フリーで、安定したものになるかどうかが決まります。このページでは主要なアプローチを比較します。

補間手法の比較

白い点 のみが実際の市場クオート。その間はすべて推定。各手法をクリックして長所短所を確認。

何が問題になるのか

各手法を詳しく見る前に、問題を実際に確認してみましょう。同じ7つのマーケット観測値に対して、3つの異なる補間手法を適用します。ウィング部分とデータポイントで何が起きるかに注目してください。

何が問題になるのか：補間の失敗例

同じ7つの市場観測値に、3つの異なる補間手法を適用します。ウィング部分で何が起こるかご覧ください。

滑らかな多項式曲線です。ウィングで振動やオーバーシュートが発生することがあります。

白い点だけが実際の観測値です。「すべて比較」をクリックすると3つの手法を重ねて表示できます。スプラインが左ウィングでオーバーシュートする一方、SVIは有界にとどまる点にご注目ください。

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ノンパラメトリック手法

これらの手法は、関数形を仮定せずにデータポイントを通る曲線をフィットさせます。高速でシンプルですが、構造的な保証は一切ありません。

線形補間

隣接するデータポイント間を直線で結びます。

利点:

• 実装が極めて簡単
• フィッティングや最適化が不要
• 決定的: 同じ入力からは常に同じ出力が得られる

欠点:

• すべてのデータポイントで鋭い角が生じます。これらの角は不連続な1階微分を生み、グリークス(特にガンマ)が観測された行使価格で急激にジャンプすることを意味します。
• バタフライ・アービトラージに対する保証がありません。2点間の直線は、凸型のスマイルがあるべき位置より下に沈み込む可能性があります。
• 外挿は純粋な当て推量です(最後のセグメントの傾きを単純に延長するだけ)。

適した用途: 概算、サニティチェック、デバッグ。本番のプライシングには適しません。

3次スプライン補間

データポイント間に区分的な3次多項式をフィットさせ、各接合点で1階微分と2階微分が一致するように制約します。その結果、$C^2$の滑らかさ(連続的な曲率)を持つ曲線が得られます。

この名前は、物理的な製図用スプライン、つまり製図者がピンの間を曲げて滑らかな曲線を描くために使った柔軟な木の帯に由来しています。

利点:

• すべてのデータポイントを通る滑らかな曲線
• パラメータ推定が不要(スプラインはデータと境界条件によって決まる)
• 計算が高速

欠点:

• ルンゲ現象: 補間領域の端では、多項式が大きくオーバーシュートすることがあります。ボラティリティ・サーフェスにおいては、ウィングのIVがスパイクしたり負になったりすることを意味します。
• 振動: データポイント間で、3次曲線は正常なスマイルが生成すべき値の上下に振れることがあり、凹型の窪み(バタフライ・アービトラージ)を生み出します。
• 外れ値への感応度: 1つの不良データポイント(古い気配値、入力ミス)が曲線全体を歪めます。滑らかさの制約がエラーを伝播させるためです。
• 外挿の挙動を制御できません。

適した用途: 可視化、学術的な作業、またはパラメトリック・フィッティング前の初期推定値として。本番のプライシングやリスク管理には適しません。

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パラメトリック手法

これらの手法はスマイルの関数形を仮定し、そのパラメータをデータにフィットさせます。正確な補間と引き換えに構造的な制御を得ます。

SVI (Stochastic Volatility Inspired)

暗号資産および株式ボラティリティ・サーフェスにおける業界標準です。満期スライスごとに5つのパラメータを持ちます。

$$w(k) = a + b \left( \rho(k - m) + \sqrt{(k - m)^2 + \sigma^2} \right)$$

完全なリファレンスはこちら: SVIパラメータ化

支配的である理由: SVIは柔軟性と簡潔性のスイートスポットです。5つのパラメータでほぼあらゆる観測されたスマイル形状にフィットでき、シンプルな不等式制約によってバタフライ・アービトラージが発生しないことが保証されます。ウィングは線形の漸近線に近づくため、外挿は有界で合理的です。

SABR (Stochastic Alpha Beta Rho)

ボラティリティがどのように変動するかの仮定からスマイルを導出する確率的ボラティリティモデルです。4つのパラメータを持ちます: $\alpha$ (ボラティリティ水準)、$\beta$ (CEV指数)、$\rho$ (スポット・ボラティリティ相関)、$\nu$ (ボラティリティ・オブ・ボラティリティ)。

完全なリファレンスはこちら: SABRモデル

存在する理由: SABRは静的な形状だけでなく、スマイルのダイナミクスを捉えます。原資産が動いたときにスマイルがどう動くべきか(デフォルトではスティッキー・デルタ)を教えてくれます。このため、スマイルのダイナミクスがヘッジにおいて重要となる金利スワップションに自然に適合します。

ローカル・ボラティリティ (Dupire)

通常の意味でのフィッティング手法ではありません。ローカル・ボラティリティは、観測されたインプライド・ボラティリティ・サーフェスから瞬間ボラティリティ・サーフェスを導出します。「これらのオプション価格を正確に再現するためには、各(スポット、時間)の組み合わせにおける瞬間ボラティリティはどうあるべきか?」という問いに答えるものです。

完全なリファレンスはこちら: ローカル・ボラティリティ

存在する理由: ローカル・ボラティリティは、観測されたすべてのオプション価格に正確に一致する唯一のアービトラージ・フリーなモデルです。インプライド・ボラティリティと、経路依存型のペイオフを扱えるプライシングエンジンとの間の橋渡し役です。

SSVI (Surface SVI)

スライスごとではなく、サーフェス全体を一括してモデル化するSVIの拡張です。SSVIは構造上、カレンダー・アービトラージが発生しないことを保証します。つまり、すべての行使価格において、トータル・バリアンスが満期とともに増加することが保証されます。

$$w(k, \theta_t) = \frac{\theta_t}{2} \left( 1 + \rho \, \varphi(\theta_t) \, k + \sqrt{(\varphi(\theta_t) \, k + \rho)^2 + (1 - \rho^2)} \right)$$

ここで $\theta_t$ は時点 $t$ におけるATMトータル・バリアンスであり、$\varphi(\theta_t)$ はスキューが満期とともにどう変化するかを制御します。

トレードオフ: スライスごとのSVIより自由パラメータが少ない(スマイル形状が満期間で連動する)ため、個々のスライスでのフィットはわずかに劣る可能性があります。しかし、事後的なカレンダー・アービトラージの修正は一切不要です。

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比較表

手法

パラメータ

アービトラージ・フリー?

外挿

速度

最適な用途

線形

0

いいえ

非有界

瞬時

デバッグ

3次スプライン

~12 (暗黙的)

いいえ

振動する

高速

可視化

SVI

スライスごとに5

はい (制約付き)

有界線形

高速

暗号資産 / 株式

SABR

4

ほぼ

妥当

中程度

金利 / スワップション

ローカル・ボラティリティ

グリッド全体

構造上保証

N/A (導出)

低速

エキゾチック商品のプライシング

SSVI

~6 (サーフェス)

はい (カレンダーも)

有界

高速

サーフェス全体の整合性

選び方

• 本番の暗号資産/株式プライシング: SVIまたはSSVI。業界がここに収束しているのには正当な理由があります。
• 金利オプション: SABR。スワップションのヘッジにおいて重要なスマイルのダイナミクスを捉えます。
• エキゾチック・デリバティブのプライシング: ローカル・ボラティリティ(または確率的ローカル・ボラティリティのハイブリッド)。スライスだけではなく、サーフェス全体が必要になります。
• クイックな分析や可視化: 取引に使わない限り、3次スプラインで問題ありません。
• 使うべき用途なし: 本番環境での線形補間。本当にやめてください。

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数式エクスプローラー

すべての補間手法はトータル・バリアンスとログ・マネーネスを用いて動作します。この計算ツールで表現形式間の変換を行えます。

数式エクスプローラー

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

インプライドボラ (σ)

%

インプライド・ボラティリティ

満期までの期間

日

満期までの暦日数

総分散 (w)

0.022225

年率換算分散 (σ²)

0.2704

逆算IV

52.00%

総分散は、SVIなどのモデルがフィットする対象です。時間とともに増えるため、30日間の50%ボラは90日間の50%ボラよりも総分散が小さくなります。

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関連ページ:

• ボラティリティ・サーフェスの構築方法 - パイプライン全体
• SVIパラメータ化 - SVIの詳細解説
• SABRモデル - SABRの詳細解説
• ローカル・ボラティリティ - Dupireの詳細解説