Kou 二重指数ジャンプ拡散モデル

Merton はジャンプを単一の正規分布としてモデル化します -- つまり上方ジャンプと下方ジャンプが同じ形状を持つのです。これは誤りです。暴落は上昇よりも急激です。-20% のギャップは数分で発生しますが、+20% の上昇には数週間かかります。Kou (2002) は、上方ジャンプと下方ジャンプに異なるサイズを与えることでこの問題を解決します。

そのメカニズムは、正規分布の代わりに指数分布を使うことです。下方ジャンプには 1 つの指数分布(通常は平均が大きい)、上方ジャンプには別の指数分布(通常は平均が小さい)を割り当てます。コールウィングに触れることなくプットウィングを急峻にでき、その逆も可能です。

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各ウィングに独自のパラメータ

Merton では、(負の平均ジャンプを通じて)プットウィングを急峻にするとコールウィングにも影響します。Kou では各ウィングが独立しています。下方ジャンプのサイズはプットウィングを急峻にし、上方ジャンプのサイズはコールウィングを急峻にします。これは暗号資産のスマイルと一致します。

パラメータを探索する

「Show Merton equiv」を切り替えて、対称(Merton)モデルと Kou の非対称ウィングを比較してみましょう。「Crypto crashes」プリセットを試すと、緩やかなコールウィングと急峻なプットウィングの組み合わせを確認できます。

Kou 二重指数スマイル・エクスプローラー

下方ジャンプが支配的：ジャンプの 70% が下方向で、上方ジャンプの 4x の大きさ。プット側ウィングが急勾配になります。

ジャンプ頻度2.00

年間の期待ジャンプ回数。0 = フラット (BS)。

上方ジャンプ確率0.30

上方向のジャンプの割合。低い = 暴落バイアス。

上方ジャンプの大きさ0.05

上方ジャンプの平均幅（例：0.08 = 8%）

下方ジャンプの大きさ0.20

下方ジャンプの平均幅（例：0.15 = 15%）

「Merton 相当を表示」を切り替えて、非対称 (Kou) と対称 (Merton) のジャンプを比較してください。Kou では片側のウィングだけを独立して急勾配にできる点に注目してください。

各パラメータの働き

• ジャンプ頻度(ラムダ): 年間のジャンプ回数。ゼロの場合はブラック・ショールズ(フラットなスマイル)になります。ラムダが高いほど両方のウィングが持ち上がります。上下どちらのジャンプでも OTM オプションの価値が高まるためです。
• 上方ジャンプ確率(p): ジャンプのうち上方向に動く割合。p が低いほどジャンプの大半が暴落になります。これはスキューのバランスをシフトさせます。
• 上方ジャンプサイズ: 上方向のギャップの平均的な大きさ。大きいほどコールウィングが急峻になります。
• 下方ジャンプサイズ: 下方向のギャップの平均的な大きさ。大きいほどプットウィングが急峻になります。暗号資産では、これは通常、上方ジャンプサイズの 2〜4 倍です。

Kou がウィングを形作る仕組み

パラメータの変更

プットウィングへの影響

コールウィングへの影響

直感的な理解

下方ジャンプサイズを増やす

急峻になる

ほとんど変化なし

暴落が大きい = プットのプロテクションが割高になる

上方ジャンプサイズを増やす

ほとんど変化なし

急峻になる

上昇が大きい = コールウィングが割高になる

上方ジャンプ確率を減らす

急峻になる

フラットになる

より多くのジャンプが下方向 = 暴落バイアス

ジャンプ頻度を増やす

持ち上がる

持ち上がる

イベントの総数が増える = 両方向のテールリスクが増加

ℹ️

ウィングの独立制御

Merton では、負の平均ジャンプによってプットウィングを急峻にすると、コールウィングにも同時に影響します(正規分布は平均を中心に対称であるため)。Kou では、下方ジャンプサイズがプットウィングを、上方ジャンプサイズがコールウィングを制御します。「Show Merton equiv」を切り替えて、その違いを確認してみてください。

Kou と Merton の比較

Kou

Merton

ジャンプの分布

二重指数分布(非対称)

正規分布(平均を中心に対称)

ウィングの独立性

プットウィングとコールウィングを別々に制御

スキューの変更が両方のウィングに影響

テールの減衰

指数テール(正規分布より厚い)

ガウステール(より薄い)

パラメータ数

5 (σ, λ, p, η₁, η₂)

4 (σ, λ, μ_J, σ_J)

バリア/ルックバックのプライシング

閉形式解が利用可能

閉形式解なし(MCが必要)

暗号資産への適合度

より良い(非対称ウィングが現実に一致)

まずまず(ただしウィングの独立性に難あり)

暗号資産トレーダーにとって重要な理由

暗号資産のギャップリスクは極めて非対称です:

イベントの種類

典型的なサイズ

スピード

Kou のパラメータ

清算カスケード

-10% 〜 -30%

数分

下方ジャンプサイズ(大)

取引所障害によるギャップ

どちらの方向も、-20% 〜 +10%

瞬時

両方のジャンプサイズ + 確率

ETF 承認による上昇

+5% 〜 +15%

数時間

上方ジャンプサイズ(中程度)

ステーブルコインのデペッグ

-5% 〜 -50%

数ブロック

下方ジャンプサイズ(非常に大)

パターンに注目してください: 下方向の動きは上方向の動きよりも速く、大きいのです。Merton はこの非対称性をきれいに捉えることができません -- 平均を負にシフトすることはできますが、その平均を中心とした正規分布の対称性がコールウィングにも波及してしまいます。Kou の二重指数分布は、両者を自然に分離します。

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ウィングを独立にフィットさせるためのジャンプモデル

Kou はプットウィングとコールウィングを分離します。下方ジャンプサイズが暴落のパラメータで、上方ジャンプサイズが上昇のパラメータです。両者は互いに干渉しません。OTM のプットとコールを別々のブックとして取引するなら -- 暗号資産ではそうすべきです -- Kou はその構造に合致します。

方程式エクスプローラー

数式エクスプローラー

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

インプライドボラ (σ)

%

インプライド・ボラティリティ

満期までの期間

日

満期までの暦日数

総分散 (w)

0.022225

年率換算分散 (σ²)

0.2704

逆算IV

52.00%

総分散は、SVIなどのモデルがフィットする対象です。時間とともに増えるため、30日間の50%ボラは90日間の50%ボラよりも総分散が小さくなります。

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次に進む前に理解度をテストしましょう。

Q: ボラティリティ・スマイルのフィッティングにおいて、Merton に対する Kou の主な利点は何ですか?

Q: 暗号資産のジャンプサイズにおいて、指数テールがガウステールよりも現実的なのはなぜですか?

Q: 下方ジャンプサイズを 10% から 25% に増やすと、コールウィングはどうなりますか?

Q: エキゾチックオプションのプライシングにおいて、Kou が Merton に対して持つ実務的な利点は何ですか?

💡 ヒント： 回答を見る前に自分で答えてみましょう。

数学的な直感を養う

Kou をゼロから学ぶインタラクティブレッスン · 前提知識は不要です

このレッスンでは、モデルを上昇側と下落側の別々のジャンプエンジンとして説明し、 二重指数分布の直感的理解と、それが Merton よりもクリーンなウィング制御を 実現する理由を解説します。

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関連項目:

• Merton ジャンプ拡散モデル -- 対称ジャンプの先行モデル
• Bates モデル -- 確率的ボラティリティと Merton ジャンプの組み合わせ
• Variance Gamma -- 拡散を持たない純粋ジャンプモデル
• Heston モデル -- 確率的ボラティリティ(スマイルを得るもう一つの方法)
• スキュー -- スマイルが傾く理由
• ブラック・ショールズ -- ジャンプなしのベースライン
• 補間手法 -- 全手法の比較