ゼロから学ぶKouジャンプ拡散モデル
1/5Mertonのジャンプは対称的すぎる
Mertonは対数正規のジャンプを使用します。ジャンプサイズの分布はどこかを中心とした単一のベル型曲線です。上方ジャンプと下方ジャンプは同じファミリーから引かれます。これが問題です。
実際の暴落はラリーよりも急峻です。ステーブルコインのデペッグはショートスクイーズの鏡像には見えません。-20%のギャップは単一ブロックで起こります。+20%のラリーには1週間かかります。左裾と右裾を別々に制御できるモデルが必要です。
Kou (2002) は対数正規のジャンプ分布を 二重指数分布 に置き換えることでこれを解決します。上方ジャンプは一つのレートで減衰します。下方ジャンプは別のレートで減衰します。二つの別々のテールに対して二つの別々のつまみがあります。
In Merton: ln(J) ~ Normal(μJ, σJ²).
Kouでは、ジャンプサイズ Y = ln(J) は 二重指数分布 に従い、正の値と負の値で別々の減衰レートを持ちます。
実務的な帰結: Mertonでは、スマイルの左ウィングを（ μJ をより負にして）急峻にすると、右ウィングも一緒に引きずられます。正規分布は平均を中心に対称です。Kouはウィングを完全に切り離します。
ダブル指数分布
ジャンプサイズYは、ゼロで接合された2つの指数関数の半分から成る密度を持ちます。各半分はそれぞれの速度で減衰します。これが中核となる革新です。
f(y) = (1−p)·η₂·eη₂y for y < 0 (down-jumps)
η₂ は下方ジャンプの減衰を制御します。小さな η₂ は下方ジャンプが大きくなり得る（太い左テール）ことを意味します。平均下方ジャンプ = 1/η₂.
p は特定のジャンプが上方である確率です。
下のパラメータをスライドさせて密度の変化を見てください。重要な実験: η₁ を η₂ よりずっと大きく設定します。右テール（上方ジャンプ）は薄くなりゼロ付近に集中し、一方で左テール（下方ジャンプ）は遠くまで伸びます。それがクラッシュリスクの形状です。
試すべき3つの実験：
1. η₁ = η₂ = 5, p = 0.5 を設定します。密度は対称です。両方のテールは同一です。これは精神的には平均ジャンプがゼロのMertonと同等です。
2. η₁ = 10, η₂ = 2, p = 0.3 を設定します。太い左テール、薄い右テール、ほとんどのジャンプが下向きです。古典的なクラッシュレジームです。
3. p を0.9に向けて上げます。ほとんどのジャンプは上向きになりますが、実際に起こる下方ジャンプは依然として η₂ によって独立に支配されます。
非対称ジャンプが重要な理由
の比率 η₁ と η₂ およびパラメータ p は、インプライド・ボラティリティ・スマイルのスキューを共に制御します。重要なのは、これらが各ウィングを独立して制御する点です。
ある暗号資産トークンを考えてみましょう。ディペッグによる暴落は急激かつ深い——つまり小さな η₂ を意味します（左テールが厚い）。通常の価格上昇は少しずつ進みます——つまり大きな η₁ を意味します（右テールが薄い）。その結果得られるスマイルは、プット側のウィングが急峻でコール側のウィングが緩やかになります。これはまさに市場で見られる姿です。
以下のエクスプローラーで、η₂ だけを変えると、右ウィングを動かさずに左ウィングが急峻になる様子を見てみましょう。次に η₁ を変えてみてください——右ウィングが独立して急峻になります。これがKouの実践的な強みです。各ウィングを市場に対して別々にフィットできるのです。
p がスキューにとって重要な理由： もし p = 0.3（ジャンプの大半が下向き）であれば、OTMプットが下向きジャンプリスクの継続的な流れにさらされるため、左ウィングが膨らみます。右ウィングはより静かです——そこに到達するジャンプは少なくなります。
なぜ η の比率がスキューにとって重要なのか： たとえ p = 0.5（ジャンプ確率が等しい）であっても、η₂ が η₁ よりずっと小さければ、下向きジャンプは平均してずっと大きくなります。これはプットウィングを押し上げます。なぜなら同じ数の下向きジャンプが1回あたりより大きな範囲をカバーするからです。
クローズドフォームの利点
指数分布には特別な性質があります。それは 無記憶性 です。あるジャンプが障壁 x を超えることが分かっている場合、そのオーバーシュート（ジャンプ − x）は、新たなジャンプとまったく同じ分布を持ちます。これがKouに閉形式の障壁価格をもたらすものです。
バリアオプションに何が必要かを考えてみましょう。障壁を越えた後 に価格がどこに着地するかの分布を知る必要があります。ガウス型ジャンプ（Merton）では、オーバーシュートの分布は厄介です——障壁をどれだけ越えたかに依存するからです。指数型ジャンプでは、オーバーシュートは無記憶性を持ちます。障壁を越えたという条件付き分布は、無条件分布と同じになります。これにより数学が扱いやすくなります。
その結果：Kou（2004）はノックイン/ノックアウトバリア、ルックバックオプション、パーペチュアル・アメリカンについてクローズドフォーム解を導きました。Mertonにはそのような公式はありません。エキゾチックをプライシングし、解析的なグリークスが必要な場合、Kouが勝ります。
左のパネルは、しきい値 x を示した完全な指数密度を表示します。網掛け部分は x を超える確率です。右のパネルは、超過分 (Y − x), given Y > x. の条件付き密度を表示します。しきい値をスライドさせてみてください。条件付き密度は常に元と同じ形をしています。これが無記憶性です。
η を動かすと、両パネルが同一にスケールし直される様子に注目してください。超過分の形は、しきい値をどこに設定したかに決して依存しません。バリアプライシングにおいて、これは障壁でのオーバーシュート分布が解析的に既知であることを意味します——シミュレーションは不要です。
Kou vs Merton vs Heston
各モデルには役割があります。MertonとHestonに対してKouがどこに位置づけられるかを理解することが最後のピースです。
Kou： 非対称なジャンプ、独立したウィング制御、閉形式のエキゾチック。暴落の非対称性が顕著な市場（暗号資産、個別銘柄株式）に最適で、解析的な障壁価格やルックバック価格が必要な場合に向いています。
Merton： よりシンプルで対称なジャンプ。パラメータが少なめ。スマイルがおおむね対称である場合や、バニラのみを価格付けする場合には十分です。ジャンプモデルの業界における出発点です。
Heston： 確率的ボラティリティ、ジャンプなし。ボラティリティとスポットの相関（ρ）を通じてスキューを生成します。ボラティリティのボラティリティが期間構造を駆動する長期満期で優勢です。ジャンプが生み出す短期のウィングの急峻さは生成できません。
上のチャートは、同じ総ジャンプ分散を持つKouとMertonのスマイルを重ねて表示しています。両モデルとも合計では同じ量のジャンプリスクを加えますが、Kouはそのより多くを左テールに割り当てます。Kouの左ウィングがより厚く（プットウィングがより急峻）、右ウィングがより薄いことに注目してください。Mertonはリスクをより均等に分割します。
Black-Scholes： 平坦なスマイル。スキューもウィングもありません。
Merton： ウィングを持つスマイルです。対称的なジャンプ分布は、両側のウィングが一緒に動くことを意味します。短期のバニラに適しています。
Kou: スマイルで、独立した ウィングを持ちます。非対称なジャンプ分布です。バリアやルックバックの閉形式解があります。クリプトへの適合性がより優れています。
Heston: 確率的ボラティリティから生じるスマイルです。長期の満期でも持続します。ジャンプがないため、短期のウィングは平坦すぎます。
Bates: Heston + Merton ジャンプです。定番のモデルです。最も要求の厳しい用途では、Merton のジャンプ成分を Kou 型の二重指数ジャンプに置き換えます。
次に進む先：
Merton ジャンプ拡散 — 対称ジャンプの先駆モデル
Variance Gamma — 拡散を一切含まない純粋ジャンプモデル
Heston モデル — 確率的ボラティリティ、ジャンプなし
Bates モデル — Heston + ジャンプ：業界の定番モデル