ローカル・ボラティリティ
このページではデュピレのローカル・ボラティリティモデルを扱います。これがボラティリティ・サーフェスのパイプラインにどう組み込まれるかについては、サーフェスの構築方法をご覧ください。他の手法との比較については、補間手法をご覧ください。
ローカル・ボラティリティとは、特定の価格水準と時点における原資産の瞬間的なボラティリティです。これは関数 であり、拡散モデルに代入したときに、観測されるすべてのヨーロピアンオプション価格を正確に再現します。
このアイデアは、Bruno Dupire（1994年）と Derman & Kani（1994年）によって独立に開発されました。これは、追加の仮定を一切必要とせずに、完全なインプライド・ボラティリティ・サーフェスに一致する唯一のモデルです。
インプライドボラティリティ vs. ローカルボラティリティ
重要な洞察：インプライドボラティリティは、満期までの経路に沿ったローカルボラティリティのブレンドされた平均です。ローカルボラティリティは瞬間的な「点ごとの」ボラティリティです。
インプライド・ボラティリティ vs ローカル・ボラティリティ
ローカル・ボラティリティ（実線）は常にインプライド・ボラティリティ（破線）より尖った形になります。インプライド・ボラティリティは、経路上のローカル・ボラティリティの加重平均です。
スマイル形状を切り替えて、次の点に注目してください：
- ローカルボラティリティは常により尖っています。 インプライドボラティリティは経路にわたって平均するため、極端な部分を平滑化します。ローカルボラティリティは、生の、平均化されていない姿を示します。
- より急なインプライドスキュー = より劇的なローカルボラティリティ。 急なスキューのケース（危機時）では、ローカルボラティリティは左側のウィングで発散します。これはモデルがこう言っているのです：「スポットがそこまで下落した場合、観測されるプット価格に一致させるには、瞬間的ボラティリティが非常に高くなる必要がある。」
- この関係はスポットレート vs. フォワードレートに似ています。 インプライドボラティリティはスポットレート（今から満期までの平均）です。ローカルボラティリティはフォワードレート（将来のある時点における瞬間的レート）です。
ローカルボラティリティの意味
原資産価格がボラティリティのランドスケープの中を進んでいくと考えてください。（価格、時間）空間の各点には、特定のボラティリティがあります。原資産がさまよう中で、異なる瞬間的ボラティリティを経験します。
50%のインプライドボラティリティを持つ30日物ATMオプションは、その経路に沿って40%から65%の範囲のローカルボラティリティを通過するかもしれません。50%のインプライドボラティリティは、それらすべてのローカルボラティリティのリスク中立的な平均であり、各水準で費やした時間で加重されています。
これが、異なる行使価格を持つ2つのオプションが、同じ原資産プロセスに依存しているにもかかわらず、異なるインプライドボラティリティを持ち得る理由です。それらはローカルボラティリティ・ランドスケープの異なる部分を通過するのです。
ローカルボラティリティをいつ使うか
エキゾチックオプションのプライシング
ローカルボラティリティの主要なユースケースです。ワークフロー：
- 市場でヨーロピアンオプション価格（またはインプライドボラティリティ）を観測する
- アービトラージフリーなインプライド・ボラティリティ・サーフェスをフィッティングする（SVI、SSVI、または類似の手法を使用）
- デュピレの公式によりローカル・ボラティリティ・サーフェスを導出する
- ローカル・ボラティリティ・サーフェスを用いて数値プライシングエンジン（有限差分PDEまたはモンテカルロ）を構築する
- ローカルボラティリティ・ランドスケープを通じて原資産を発展させることでエキゾチックをプライシングする
保証されること： ローカルボラティリティの下でプライシングされたエキゾチックは、観測されるすべてのヨーロピアンオプション価格と整合的です。あなたのバリアオプション価格はバニラと矛盾せず、これはヘッジにおいて重要です。
サーフェスと整合的なグリークス
ローカルボラティリティの下で計算されるグリークスは、スポットが動くにつれてボラティリティが変化するという事実を考慮します。ローカルボラティリティの下でのデルタは、ブラック・ショールズのデルタとは異なります。なぜなら、モデルは異なるスポット水準へ移動することが異なるローカルボラティリティを経験することを意味すると「知っている」からです。これは概念的に、タレブが「シャドウ・ガンマ」と呼ぶもの、つまりスポットが動いたことでボラティリティが変化することから生じる追加のデルタ変化に似ています。
ダイナミクスの問題
ローカルボラティリティには、よく知られた弱点が1つあります：間違ったスマイル・ダイナミクスを予測することです。
ローカルボラティリティの下では、ボラティリティはスポットの決定論的な関数です。スポットがどこにあるかがわかれば、ボラティリティが正確に何であるかがわかります。ボラティリティに「サプライズ」はありません。これは次のことを意味します：
- スポットが下落したとき、ローカルボラティリティは、この価格ではボラティリティは常にこの高さになるはずだったと言います。スマイルは平坦化します。
- 実際には、スポットが下落したとき、ボラティリティはローカルボラティリティが予測するよりもさらに上昇することが多く、スマイルは急峻化します。
その結果：ローカルボラティリティは、将来のスマイル形状に依存するオプション（バリアオプション、フォワードスタート・オプション、クリケット）を体系的に過小評価します。
ローカルボラティリティ vs. 他のモデル
| ローカルボラティリティ | SVI | SABR | |
|---|---|---|---|
| それが何か | 各 (S, t) における瞬間的ボラティリティ | パラメトリックなスマイル形状 | 確率的ボラティリティモデル |
| 観測可能か？ | いいえ（導出される） | いいえ（フィッティングされる） | いいえ（フィッティングされる） |
| 正確なキャリブレーション | はい（構成上） | 近似的 | 近似的 |
| スマイル・ダイナミクス | 間違い（決定論的） | 特定されない | より良い（確率的） |
| エキゾチックプライシング | はい（主要な用途） | いいえ | 限定的 |
| 速度 | 遅い（PDE/MC） | 速い | 速い（公式） |
| 最適な用途 | バリア、アジアン、エキゾチック | バニラプライシング、リスク | スワップション、FXバニラ |
他のモデルとの関連
インプライドボラティリティからローカルボラティリティへ： デュピレの公式。入力としてアービトラージフリーなインプライドサーフェスが必要です。
ローカルボラティリティからインプライドボラティリティへ： ローカル・ボラティリティ・サーフェスの下でフォワードPDEを実行し、ヨーロピアンをプライシングし、反転してインプライドボラティリティを得ます。これは構成上、正確に往復します。
SABRとローカルボラティリティ： SABRの パラメータはローカルボラティリティのバックボーン（）を制御し、一方 はその上に確率的な層を追加します。SABRは、追加のダイナミクスを持つローカルボラティリティのパラメトリックな近似と見なすことができます。
SVIとローカルボラティリティ： SVIはインプライドサーフェスを提供します。次にデュピレがローカルボラティリティを提供します。連鎖は次のとおりです：市場クオート -> SVIフィット -> インプライドサーフェス -> デュピレ -> ローカルボラティリティ -> エキゾチックプライサー。
数学的直観を養う
ローカル・ボラティリティをゼロから学ぶインタラクティブなレッスン · Dupireの公式を扱います上のインタラクティブなレッスンでは、デュピレのローカル・ボラティリティモデルを第一原理から扱います：なぜインプライドボラティリティがローカルボラティリティの経路加重平均であるのか、デュピレの公式が観測価格からどのようにローカルボラティリティを抽出するのか、インプライドボラティリティ・スマイルとローカル・ボラティリティ・サーフェスの関係、そしてなぜローカルボラティリティが経路依存型エキゾチックのプライシングにとって重要なのか。
オープンソースの実装
| リポジトリ | 検討すべき理由 |
|---|---|
| QuantLib | FDプライシングエンジンを備えたデュピレのローカルボラティリティ |
| OpenGamma Strata | 市場データからのローカル・ボラティリティ・サーフェス構築 |
| RustQuant | Rustでのローカルボラティリティプライシング |
関連項目：
- SVIパラメータ化 - インプライドサーフェスの構築に使用されるモデル
- SABRモデル - 確率的ボラティリティの代替手法
- 補間手法 - すべての手法の比較
- サーフェスの構築方法 - 完全なパイプライン