ゼロから学ぶローカル・ボラティリティ
1/5インプライド・ボラティリティはブレンドされた平均値
ローカルボラティリティで最も重要な考え方：ある行使価格と満期について観測されるインプライド・ボラティリティは、その地点のボラティリティではありません。それは経路上のすべてのローカルボラティリティを経路加重平均したものです。
ロードトリップを思い浮かべてください。制限速度は町ごとに変わります（これがローカルボラティリティです）。旅全体の平均速度がインプライド・ボラティリティです。同じ目的地に到着する2つの旅でも、通る町が違えば平均速度は異なります。
下では、すべての経路がS=100から始まり、同じ最終価格で終わります。しかし各経路はそれぞれ独自のローカルボラティリティを持つ異なる価格領域を通っていきます。インプライド・ボラティリティはこれらすべての経路にわたる平均です。
経路を増やして、平均ボラティリティが安定していく様子を見てください。各経路は、どの価格水準を通過するかによって異なるローカルボラティリティを経験します。背景の陰影はローカルボラティリティの地形を示しており、明るいほどボラティリティが高いことを表します。
ローカルボラティリティとは？
ローカルボラティリティとは、特定の（価格、時間）地点における瞬間的なボラティリティです。それは地形のようなもので、あらゆるスポット価格とあらゆる時点に、特定のボラティリティ値が存在します。
モデルはこう述べます：原資産が時刻tに価格Sにあるとき、瞬間的なボラティリティはちょうどσ(S, t)です。ボラティリティ自体にランダム性はなく、価格がどこにあり、いつなのかによって決まる決定論的な関数です。
下のヒートマップにカーソルを合わせて、各地点のローカルボラティリティ値を確認してください。パターンに注目：低いスポット価格（左側）ではボラティリティが高く、高いスポット価格（右側）では低くなっています。この非対称性がインプライド・ボラティリティのスキューを生み出します。
ローカルボラティリティは風速の地形図のようなものです。あらゆる（緯度、経度）に特定の風速があります。AからBへ航行する船は、その航路によって異なる風を経験します。旅全体の平均風速がインプライド・ボラティリティに相当します。各地点の風速がローカルボラティリティです。
Dupireの公式
Dupireは、観測されるオプション価格から直接ローカルボラティリティ・サーフェスを抽出できることを示しました。この公式はコール価格関数の2つの偏微分を使います。
∂²C/∂K² — ストライク方向のコール価格の曲率。これは最終価格の確率密度（バタフライ・スプレッド）です。この項がゼロのとき、バタフライ・アービトラージが存在し、ローカルボラティリティは定義できません。
下のグリッドは、スキューのあるインプライド・ボラティリティ・サーフェスで計算したブラック・ショールズのコール価格を示しています。内側の任意のセルをクリックして選択してください。2つの微分ビューを切り替えて、どの隣接セルが分子と分母に寄与するかを確認してください。
| T \ K | 85 | 90 | 95 | 100 | 105 | 110 | 115 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.10y | 15.60 | 11.06 | 7.30 | 5.36 | 2.28 | 0.81 | 0.26 |
| 0.25y | 17.06 | 13.16 | 10.11 | 8.50 | 5.43 | 2.97 | 1.57 |
| 0.50y | 19.57 | 16.19 | 13.57 | 12.06 | 9.70 | 6.42 | 4.22 |
| 0.75y | 21.85 | 18.75 | 16.32 | 14.82 | 13.05 | 9.63 | 6.89 |
| 1.00y | 23.93 | 21.00 | 18.68 | 17.15 | 15.63 | 12.64 | 9.52 |
分子（∂C/∂T）は、より長い満期に対して市場がどれだけ追加の時間的価値を割り当てるかを測定します。これがフォワードボラティリティの情報です。分母（∂²C/∂K²）はリスク中立確率密度です。それらの比が、その（K, T）地点における瞬間的な分散を切り出します。
スマイルからサーフェスへ
インプライド・ボラティリティ・スマイル（ストライク方向のIVの曲線）は、ローカルボラティリティ・サーフェス全体に対応します。スマイルの形状を調整すると、ローカルボラティリティの地形が変化します。
下のスライダーを使ってインプライド・ボラティリティ・スマイルを変更してください：基準水準、スキュー（傾き）、曲率（凸性）です。左のパネルはIVスマイルを示します。右のパネルはDupireによって計算された結果のローカルボラティリティ・ヒートマップを示します。
注目すべき重要な点：
ローカルボラティリティは常にインプライド・ボラティリティより極端です。 インプライド・ボラティリティは経路にわたって平均するため、ローカルボラティリティの山と谷を滑らかにします。曲率を大きくして、ローカルボラティリティのウィングがはるかに顕著になる様子を見てください。
スキューを加えるとローカルボラティリティが非対称にシフトします。 ネガティブスキュー（株式/クリプト市場で典型的）は、左側（低スポット）で高いローカルボラティリティを、右側で低いローカルボラティリティを生み出します。
エキゾチックにとってなぜ重要か
バニラオプションには、インプライド・ボラティリティで十分です。しかしバリア、アジアン、ルックバックといった経路依存のものには、単なる最終的な平均だけでなく、経路上のどこでボラティリティがあるかを知る必要があります。
ダウン・アンド・アウト・コールは、価格が途中でバリアに触れない限り、通常のコールのようにペイオフします。バリアに到達する確率は、バリア水準付近で価格が経験するボラティリティに依存します。2つの異なるローカルボラティリティ・サーフェスは、同じバニラコール価格を生み出しても、まったく異なるバリア価格になり得ます。
これがローカルボラティリティの中核的な論拠です：エキゾチックの価格をバニラと整合させます。 ローカルボラティリティの下で価格付けされたバリアや経路依存のオプションは、観測されるバニラ価格と矛盾しないことが保証されます。場当たり的な調整の代わりに、1つの統一されたモデルが得られます。
注意点：ローカルボラティリティは誤ったスマイル・ダイナミクスを予測します（ボラティリティは決定論的なので、サプライズを起こせません）。実務では、デスクは確率的ローカルボラティリティ（SLV）を使います。校正精度のためのローカルボラティリティに加え、現実的なダイナミクスのための確率的要素を組み合わせます。