ボラティリティ・サーフェスの構築方法
市場では連続的なサーフェスを見ることはできません。見えるのは、限られた行使価格と満期に散在する気配値だけです。「サーフェス」は、それらの気配値をインプライド・ボラティリティに変換し、隙間を埋め、誰もタダでお金を引き出せないように整合性のルールを適用することで構築されます。
このページでは、そのパイプライン、つまり生の気配値を入力として滑らかなサーフェスを出力するまでの流れを順に解説します。
ステップ1: まばらな気配値から始める
オプション市場では、すべての行使価格と満期の組み合わせに気配値が提示されるわけではありません。ある銘柄について、数百通りあり得るグリッドポイントのうち、気配値が見られるのは15〜20の組み合わせ程度ということもあります。サーフェスの大部分は空白です。
クオートからサーフェスへ
| 行使価格 | 7d | 14d | 30d | 60d |
|---|---|---|---|---|
| $85k | $120 | $340 | -- | -- |
| $90k | $450 | $820 | $1,400 | -- |
| $95k | $1,200 | -- | $2,800 | $4,200 |
| $100kATM | $3,500 | $4,800 | $6,200 | -- |
| $105k | $1,800 | $3,100 | -- | $5,800 |
| $110k | $650 | -- | $2,100 | -- |
上の3つのステップをクリックして切り替えてみてください。Raw Quotes ではほとんどのセルが空白であることに注目してください。Extract IV では、各価格をBlack-Scholesで逆算してインプライド・ボラティリティを求めますが、同じ隙間が残ります。Interpolate の後になって初めてすべてのセルが埋まりますが、「SVI」と表示されたセルは市場では観測されなかったものです。
これが中心的な課題です。まばらでノイズを含む観測値を、滑らかで内部的に整合したものに変換すること。各ステップがどのように機能するのかを見ていきましょう。
ステップ2: 価格をIVに変換する
気配のあるオプション価格は、それぞれインプライド・ボラティリティ、すなわちBlack-Scholesが市場価格と一致するような に変換する必要があります。
閉形式の解は存在しません。数値的に解きます。あるボラティリティを試し、BS価格を計算し、一致するか確認し、範囲を狭めていくのです。ソルバーが一歩ずつ収束していく様子を見てみましょう:
IV求根：ソルバーの収束を観察
ソルバーは、BS価格が市場価格と一致するまで、取り得るボラティリティの範囲を絞り込みます。
| ステップ | 試行 σ | BS価格 | 目標との比較 | 範囲 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 150.50% | $11278 | > 高すぎる | [1.0%, 300.0%] |
| 2 | 75.75% | $5825 | > 高すぎる | [1.0%, 150.5%] |
| 3 | 38.38% | $2995 | < 低すぎる | [1.0%, 75.8%] |
| 4 | 57.06% | $4421 | > 高すぎる | [38.4%, 75.8%] |
| 5 | 47.72% | $3711 | > 高すぎる | [38.4%, 57.1%] |
| 6 | 43.05% | $3354 | < 低すぎる | [38.4%, 47.7%] |
| 7 | 45.38% | $3533 | > 高すぎる | [43.0%, 47.7%] |
| 8 | 44.21% | $3444 | < 低すぎる | [43.0%, 45.4%] |
| 9 | 44.80% | $3488 | < 低すぎる | [44.2%, 45.4%] |
| 10 | 45.09% | $3511 | > 高すぎる | [44.8%, 45.4%] |
| 11 | 44.94% | $3499 | = 一致 | [44.8%, 45.1%] |
黄色い線は市場価格です。各推測（ドット）は、そのボラティリティでBSを評価します。網掛け領域は、各ステップで狭まっていく残りの探索範囲を示します。
入力を変えて、異なる行使価格(OTM vs ATM)、満期、価格でソルバーがどのように振る舞うか確認してください。探索範囲(網掛け部分)がステップごとに半分になることに注目してください。多くの本番システムでは、Brent法(収束が保証される)またはJäckelの有理近似(1ステップで機械精度に到達)が使われています。
すべての気配価格を逆算した後、まばらなIV値のグリッドが得られます。しかし、これらの値は行使価格をまたいで一定ではありません。隙間を埋める前に、IVカーブが自然に形成する形状を理解する必要があります。
ステップ3: 形状を理解する
もし世界がBlack-Scholesに完全に一致していたら(対数正規リターン、一定のボラティリティ)、インプライド・ボラティリティはすべての行使価格で同一になるはずです。しかし実際はそうではありません。この乖離は市場について何か実質的なことを教えてくれるものであり、これらの形状を理解することは正しい補間手法を選ぶうえで不可欠です。
なぜIVは行使価格によって変わるのか
ボラティリティはランダムです。 Black-Scholesはボラティリティが一定であると仮定します。ボラティリティそのものが変動すると、OTMオプションはBlack-Scholesの予測よりも価値が高くなります。OTMオプションはボラティリティの変化から非対称に恩恵を受けます。ボラティリティが上がればオプションはマネーに近づき急速に価値を増し、ボラティリティが下がってもオプションはすでにほぼ無価値なので損失は小さいのです。この凸性により、ボラティリティが不確実なときはOTMオプションの価値が高くなり、それがウィングIVの上昇として現れます。ボラティリティの変動が大きいほど(「ボラティリティのボラティリティ」が高いほど)、スマイルは広がります。
スポットとボラティリティは連動します。 スマイルだけなら対称になるはずです。スキューは、ほとんどの市場において価格が下落するとボラティリティが上昇するという事実から生まれます。トレーダーはこれを「上りはエスカレーター、下りはシューター」と呼びます。OTMプット(暴落時にペイオフが発生する)は、暴落がボラティリティの急騰を伴い、さらに価値を高めるため、Black-Scholesが示すよりも高く評価されます。OTMコールは、上昇相場ではボラティリティが圧縮される傾向があるため、より低く評価されます。その結果がプット・スマーク、つまり左ウィングが右ウィングよりも高いIVで取引される形状です。スマイルの形状について詳しくは、ボラティリティコースのスマイルとスマークのレッスンをご覧ください。
目にする4つの形状
スマイルとスキューの形状
それぞれの形状をクリックして確認してください。25デルタリスクリバーサル(左下)は傾きを測定します。正ならプットが割高、負ならコールが割高です。バタフライ(右下)は方向に依存しない曲率を測定します。
Skew Visualization
スライダーをドラッグしてスキューがストライク全体のIVカーブをどう変えるかを確認。プット・スキュー（正のRR）は通常、コール・スキューは稀。
スライダーをドラッグして、スキューの強さがカーブをどう変えるか見てみましょう。リスクリバーサルがゼロ付近(フラット)であれば、市場に強い方向性のバイアスはないということです。
IVは時間によってどう変わるか
サーフェスには第二の次元があります。ボラティリティの**期間構造**です。
ターム・ストラクチャー
Backwardation: 近期IV > 遠期。イベントリスクが織り込まれた信号。
シェイプを切り替えてタームストラクチャーの変化を確認。バックワーデーションはしばしば今後のイベントを示唆。
| 形状 | 意味 | 見られる場面 |
|---|---|---|
| コンタンゴ | 長期IV > 短期IV | 落ち着いた市場。ボラティリティは平均回帰で上昇すると予想されている。 |
| フラット | 満期をまたいでIVが同水準 | 期間に関する強い見方がない。 |
| バックワーデーション | 短期IV > 長期IV | 近い将来のイベントリスク。何か特定の要因が期近のボラティリティを押し上げている。 |
バックワーデーションが重要なシグナルです。短期ボラティリティが長期ボラティリティを上回って急騰するとき、市場は特定の近い将来のカタリストを織り込んでいます。イベント通過後、期間構造は通常コンタンゴに戻ります。市場環境によってサーフェス全体がどうシフトするかについては、ボラティリティ・レジームをご覧ください。
期間構造にはフォワード・ボラティリティ、すなわち2つの将来の日付の間のボラティリティに対する市場の予想も織り込まれています。30日IVが52%、90日IVが48%なら、30日目から90日目までのインプライド・フォワード・ボラティリティは次のようになります:
どちらのスポットボラティリティよりもはるかに低い値です。市場はこう言っているのです。「これからの30日間は荒れるが、その後は落ち着く」。Equation Explorer(「Forward Vol」タブを選択)で、異なる入力値を使ってフォワード・ボラティリティを計算してみてください。フォワード分散が負になる場合、それはカレンダー・アービトラージのシグナルです。
サーフェスが形成すべき形状を理解したところで、賢く隙間を埋めていきましょう。
ステップ4: 隙間を埋める
散在するIVの観測値があり、それらが形成すべき形状もわかっています。課題は、サーフェスを滑らかで、安定的で、アービトラージのない状態に保ちながら、すべての空白セルを埋めることです。
補間手法の比較
白い点だけが実際の市場観測値です。その間にあるものはすべて推定値です。各手法をクリックして、その長所と短所を確認してください。
補間の2つのルール
ナシーム・タレブは2つの原則で整理しています:
1. ギザギザを排除する。 線形補間は鋭い角を生みます。隣接する行使価格の間でインプライド・ボラティリティが不連続にジャンプするとは市場に期待できません。角を滑らかにしましょう。
2. 市場に適応する。 市場が特定の補間慣行を使っているなら、あなたのプライシングエンジンもそれに合わせるべきです。リスク管理には自分が最も正確だと考える手法を使って構いませんが、気配値は市場の慣行と一致させる必要があります。そうしないと逆選択を被ることになります。
何が問題になり得るか
アービトラージ。 $97kのコールが$95kと$100kに対して安すぎる価格になっている場合、トレーダーは$97kを買い、他の2つを組み合わせて売ることでリスクフリーの利益を得られます(バタフライ・アービトラージ)。サーフェスが、トータル・バリアンスが満期とともに減少することを示唆している場合、カレンダー・アービトラージが存在します。
意味をなさないグリークス。 スマイルの凹んだ窪みは、ロングのオプションに対して負のガンマ(あり得ない)や負のローカル分散(エキゾチックのプライシングを破綻させる)を生み出します。
不安定なプライシング。 市場の気配値を1つ動かすと、遠く離れた補間値が大きく変わるようなら、サーフェスにノイズが含まれています。ヘッジが市場の動きではなくモデルのアーティファクトに振り回されることになります。
手法の一覧
| 手法 | 一言で言うと | 適した用途 |
|---|---|---|
| 線形 | 点と点を直線で結ぶ | 手早い概算のみ |
| 3次スプライン | 滑らかな多項式カーブ | 可視化(本番運用向きではない) |
| SVI | 満期ごとの5パラメータモデル | 暗号資産オプションと株式オプション |
| ORC Wing | トレーダーに扱いやすいSVIの再パラメータ化 | 手動でのスマイル編集 |
| SABR | 4パラメータの確率的ボラティリティモデル | 金利スワップション |
| ローカル・ボラティリティ | Dupireの式で瞬間ボラティリティを導出 | エキゾチックオプションのプライシング |
Hypercall、Deribit、そしてほとんどの暗号資産ボラティリティデスクはSVIを使用しています。シンプルで(パラメータ5個)、高速で(ミリ秒単位でフィット)、アービトラージを防ぐ制約を課せるからです。全手法の詳細な比較については、補間手法をご覧ください。
ステップ5: 整合性をチェックする
各満期を独立にフィットさせると、内部的に矛盾したサーフェスができてしまうことがあります。サーフェスを公開する前に、3つの制約が満たされていなければなりません。
カレンダー・アービトラージ
トータル・バリアンスは、すべての行使価格において満期とともに増加しなければなりません。 そうでなければ、短期のストラドルを売り、同じ行使価格で長期のストラドルを買うことで、支払うより多くのプレミアムを受け取れてしまいます。タダでお金がもらえる状態です。
カレンダーアービトラージ・チェック
トータルバリアンス (σ² × T) はすべての行使価格で満期とともに増加する必要があります。
状態を切り替えてみてください。30日のトータルバリアンスが7日を下回ると、7日ストラドルを売り30日ストラドルを買うことで無リスクの利益が得られます。
各状態を切り替えてみてください。Consistent(各カーブが前のカーブより上に位置する)、Violation(30日カーブがATM付近で7日カーブを下回る)、After Fix(制約が満たされるようにパラメータを調整済み)です。
バタフライ・アービトラージ
コール価格は行使価格に対して凸でなければなりません。スマイルに凹んだ窪み(局所的な谷)があると、その窪みを中心とするバタフライ・スプレッドがリスクフリーの利益を生みます。
コールスプレッドの単調性
コール価格は行使価格に対して減少しなければならず、その減少率は0と1の間に収まっていなければなりません。行使価格が高いほどハードルが高くなるため、コールの価値は常に低くなるはずです。
結果: 完成したサーフェス
5つのステップ(価格の逆算、形状の理解、隙間の補完、整合性の適用)をすべて経て、滑らかで連続的なボラティリティ・サーフェスが得られます。以下がその結果です:
ボラティリティ・サーフェス
静かな市場。軽いプットスキュー、軽いコンタンゴ。
| ストライク | 7d | 14d | 30d | 60d | 90d |
|---|---|---|---|---|---|
| $80k | 51% | 52% | 53% | 55% | 57% |
| $85k | 50% | 51% | 52% | 54% | 56% |
| $90k | 50% | 50% | 51% | 54% | 56% |
| $95k | 49% | 49% | 51% | 53% | 55% |
| $100k(ATM) | 48% | 49% | 50% | 52% | 55% |
| $105k | 48% | 49% | 50% | 53% | 55% |
| $110k | 49% | 49% | 50% | 53% | 55% |
| $115k | 49% | 49% | 51% | 53% | 55% |
| $120k | 49% | 50% | 51% | 53% | 55% |
満期ヘッダーをクリックしてスキュー・スライスを分離。ストライクをクリックしてターム・ストラクチャーを確認。
3Dビューでは、ドラッグで回転、スクロールでズームができます。シナリオを切り替えて、市場環境の違いがサーフェスをどう変形させるか確認してください。2Dビューでは、満期のヘッダーをクリックするとスキューのスライスを分離でき、行使価格をクリックするとその期間構造を確認できます。
4つのシナリオは、サーフェスがいかに劇的に変化するかを示しています:
- Normal: 緩やかなプットスキュー、わずかなコンタンゴ。デフォルトの状態。
- Pre-Event: 期近のボラティリティが爆発的に上昇。方向が不確実なため、両ウィングが持ち上がります。
- Crisis: 全体が上昇。極端なプットスキュー。急峻なバックワーデーション。
- Euphoria: コールスキューが出現。OTMコールが買われます。まれな状態。
サーフェスはどう動くか
サーフェスは静的なものではありません。常に形を変え続けており、どのように動くかを理解することがヘッジにとって重要です。
パラレルシフト: サーフェス全体が上がるか下がるかします。ATMボラティリティが3ポイント上昇すると、ほぼすべてのセルが同程度動きます。これはベガ・エクスポージャーを持つポジションにとって最大の損益要因です。
ローテーション: 期近が一方向に動き、期先が逆方向に動きます。1カ月物オプションと1年物オプションのベガを単純に合算できないのはこのためです。7日物オプションにおける$100kのベガのポジションは、6カ月物における$100kのベガよりもはるかに大きなエクスポージャーを持ちます。短期ボラティリティのほうが反応しやすいからです。
形状の変化: スマイルが急峻になったり、ウィングが広がったり、スキューがさらに傾いたりします。水準と傾きに対してフラットなポジションでも、形状の変化で損失を被ることがあります。
局所的な変形: 単一の行使価格や狭い領域が独立に動きます。これは建玉の大きい行使価格の周辺(ピンリスク)、バリア水準、あるいは特定の満期における異常なフローの周辺で発生します。
市場レジームをまたぐサーフェス
静穏条件、大イベントなし。中程度プットスキュー、軽いコンタンゴ。
| ストライク | 7 DTE | 30 DTE | 90 DTE |
|---|---|---|---|
| 85k (OTM Put) | 58% | 55% | 52% |
| 90k | 54% | 52% | 50% |
| 95k | 51% | 50% | 48% |
| 100k (ATM) | 48% | 48% | 47% |
| 105k | 46% | 47% | 46% |
| 110k | 45% | 46% | 46% |
| 115k (OTM Call) | 44% | 45% | 45% |
注意すべきこと:
- 中程度プットスキュー（プットからコールへ約14 volポイント）
- 軽いコンタンゴ（遠期がわずかに低い）
- ATM vol約48% - 静穏BTC の典型
パターンに注目してください。危機時のサーフェスは、平穏な市場のIVの2〜3倍になります。通常はプットがスキューを支配しますが、ユーフォリアではそれが反転することがあります。平穏な市場はコンタンゴを、イベントはバックワーデーションを生み出します。イベント前のサーフェスは、方向が不確実なため、両側のウィングが厚くなります。
自分で作ってみる
IV値を調整し、アービトラージをチェックし、結果をリアルタイムで確認できます。
独自スキュー構築
静かな市場、中程度のプットスキュー
| Strike | Delta | IV(click to edit) |
|---|---|---|
| $80k | 10Δ Put | 67% |
| $85k | 15Δ Put | 62% |
| $90k | 25Δ Put | 57% |
| $95k | 40Δ Put | 53% |
| $100k | ATM | 50% |
| $105k | 40Δ Call | 51% |
| $110k | 25Δ Call | 53% |
| $115k | 15Δ Call | 56% |
| $120k | 10Δ Call | 59% |
Click IV values in the table to edit directly. Invalid configurations will show arbitrage warnings.
Equation Explorer
値を入力して、このページ全体で使われている主要な量、すなわちトータル・バリアンス、フォワード・ボラティリティ、対数マネーネス、BSプライシングを計算できます。
数式エクスプローラー
実務の知恵
ボラティリティ・サーフェスを扱う際に心に留めておくべきことをいくつか挙げます:
サーフェスはモデルであり、現実ではありません。 グリッドポイントのうち、実際の取引に由来するのはごく一部です。流動性の低い行使価格を取引するときは、ビッド/アスクスプレッドを確認しましょう。スプレッドが広い = モデルの出力。スプレッドが狭い = 実際の流動性。
ウィングの気配値は不確実です。 ディープOTMのボラティリティ水準は、フィッティングモデルに大きく依存します。異なる手法を使う2つのプラットフォームは、同じ原資産に対して異なるウィングIVを表示します。ATMのグリークスが最も信頼できます。
満期をまたいでベガを比較してはいけません。 7日物オプションにおける$100kのベガのポジションは、6カ月物における$100kのベガより劇的に敏感です。ネッティングする前にベガに重み付けをしましょう(時間の平方根が手始めとして使えますが、実証的な比率のほうが優れています)。
ヒストグラムはスキューについて嘘をつきます。 過去のリターンのヒストグラムからスキューを導くことはできません。ヒストグラムは経路、つまり下落局面でボラティリティが上昇し、上昇局面で圧縮されるという事実を隠してしまいます。スキューは、経路に沿ったスポットとボラティリティの連動に関するものであり、終端分布の形状に関するものではありません。
Black-Scholesは間違っているが有用です。 トレーダーたちは、より多くのパラメータを持つ「正しい」モデルを採用するのではなく、間違ったモデルのボラティリティ・パラメータを歪める(サーフェスを作る)ことを選びました。追加のパラメータはすべて推定が必要であり、推定誤差は積み重なります。サーフェスは市場の実用的な答えなのです。
モデルの詳細解説: SVI | ORC Wing | SABR | ローカル・ボラティリティ | 全手法の比較
関連ページ: ボラティリティ・サーフェス | インプライド・ボラティリティ | スキュー | 期間構造