マートン・ジャンプ拡散モデル
ブラック・ショールズは、価格が滑らかに動くこと -- ギャップも突然の暴落もないこと -- を仮定しています。Merton (1976) はそこにジャンプを追加しました。価格は拡散するだけでなく、突然上下にテレポートすることがあります。市場が一夜にしてギャップを開ける。ステーブルコインが1ブロックでデペッグする。
ファットテールと短期の急なスマイルは、そこから直接導かれます。ジャンプリスクが大きいほど、ボラティリティ・サーフェスのウィングは急になります。
オプションにとってジャンプが重要な理由
2日後に満期を迎えるOTMのプットは、ブラック・ショールズの下ではほぼ無価値です -- 拡散が行使価格に到達するには時間が足りないからです。しかし、市場が一夜にして15%ジャンプできるなら、そのプットには実質的な価値があります。ジャンプモデルはこれを捉えます。短期のスマイルがあれほど急なのはこのためです。
パラメータを探索する
まず「No jumps」から始めて、フラットなブラック・ショールズを確認してください。次に「Crash risk」に切り替えて、プット側のウィングが急になる様子を観察しましょう。
Merton ジャンプ拡散スマイル・エクスプローラー
まず「ジャンプなし」でフラットな Black-Scholes を確認し、次に「暴落リスク」に切り替えて、ジャンプがスキューを生む仕組みをご覧ください。
各パラメータの役割
- ラムダ（ジャンプ強度）： 年間に予想されるジャンプの回数です。ゼロ = ブラック・ショールズ。1 = 年におよそ1回の暴落規模のイベント。暗号資産では2〜3になることもあります。
- 平均ジャンプサイズ： ジャンプの平均的な方向です。マイナス = 急騰よりも暴落のほうが起こりやすいことを意味します。これがプットのスキューを生み出します。
- ジャンプ・ボラティリティ： 各ジャンプの変動幅です。平均ジャンプがゼロであっても、ジャンプ・ボラティリティが高ければファットテールが生じます（両側のウィングが持ち上がります）。
- ベース・ボラティリティ（シグマ）： ジャンプの合間における通常の拡散ボラティリティです。これが全体の水準を決めます。
ジャンプがスマイルを形作る仕組み
ジャンプによるスマイル vs. 確率的ボラティリティによるスマイル
マートンとヘストン（確率的ボラティリティ）はどちらもスマイルを生み出しますが、その仕組みは異なります。この違いはトレーディングにおいて重要です。
短期 vs. 長期
マートンモデルが最も役立つのは、ジャンプリスクが支配的な短期オプションです。満期が長くなると中心極限定理が効いてきます -- 多数の小さなジャンプは拡散のように見えるようになり、ジャンプだけによるスマイルは薄れていきます。期間構造の長期側では、確率的ボラティリティが主役になります。
暗号資産におけるマートンモデル
マートンモデルが最も重要になるのは、間違いなく暗号資産の世界です。市場は24時間365日取引されていますが、流動性ギャップは頻繁に発生します -- 取引所の障害、オラクルの不具合、突然の清算カスケードなどです。これらこそがジャンプです。ATMの水準はあまり変わらないかもしれませんが、ウィングは劇的に急になります。
数式エクスプローラー
インプライド・ボラティリティ、トータル・バリアンス、対数マネーネス、オプション価格の間の変換ができます。
数式エクスプローラー
💡 ヒント： 回答を見る前に自分で答えてみましょう。
数学的な直感を養う
マートン・ジャンプをゼロから学ぶインタラクティブレッスン · 前提知識は不要ですこのレッスンは「価格がテレポートできたらどうなるか？」というシンプルな問いから始まり、 ジャンプ強度、ジャンプサイズ、そして短期のウィングが割高になる理由についての 完全な直感を構築していきます。
関連ページ：
- ブラック・ショールズ -- ジャンプのないベースラインモデル
- ヘストンモデル -- 確率的ボラティリティ（スマイルを生み出すもう一つの方法）
- バリアンス・ガンマ -- 拡散を全く含まない純粋なジャンプモデル
- スキュー -- スマイルが傾く理由