ゼロから学ぶMertonジャンプ拡散モデル
1/5Black-Scholesはクラッシュを扱えない
Black-Scholesは価格が連続的に動くと仮定します — 小さなティックの積み重ねで、テレポートは許されません。99%の時間はそれで問題ありません。残りの1%が命取りになるのです。
市場はギャップを空けます。決算発表、地政学的ショック、プロトコルのエクスプロイト — 価格は間を飛ばして瞬時にある水準から別の水準へジャンプします。拡散しか知らないモデルは、こうしたイベントに文字通り確率を割り当てられません。
Robert Mertonの修正（1976）：拡散はそのままに、ランダム性の第二の源をボルトオンする — ポアソン過程 がランダムなタイミングで発火します。発火すると、価格は対数正規分布から抽出されたランダムな量だけジャンプします。
dN — ポアソンカウンター。通常は0、ときどき1（ジャンプ発生）。
J — ジャンプ倍率。ln(J) ~ Normal(μJ, σJ²)。J = 0.9 なら価格は瞬時に10%下落します。
λ — 年間の平均ジャンプ回数。k = E[J − 1] — ドリフトを一定に保つための補償項です。
以下はMertonモデルによる3本のシミュレーション価格パスです。ほとんどの時間、パスは滑らかな拡散です。そこに垂直線が現れます — それがジャンプです。λを上げるとジャンプの頻度が増え、μJをより負にするとクラッシュのような挙動が見られます。
拡散とは、部屋を歩いて横切ることだと考えてください。小さく連続した歩みです。ここで床に落とし戸を加えます。ほとんどの歩みは普通です。しかしたまに落とし戸を踏み抜き、思いがけない場所に着地します。それがジャンプ成分です。
3つの新しいパラメータ
通常のσ（拡散ボラティリティ）に加えて、Mertonはインプライド・ボラティリティ・スマイルの形状を左右する3つのパラメータを追加します。それぞれが特定の役割を担います。
λ（ラムダ）— ジャンプ頻度。 年間に平均で何回ジャンプが起きるかを表します。λが高いほどジャンプが頻繁になり、スマイルの両ウィングが持ち上がります。λ = 0 なら、Black-Scholesの世界に戻ります。
μJ（ミューJ）— 平均ジャンプサイズ。 負の場合、ジャンプは主に下方向（暴落）です。これによりスマイルが傾き、左ウィング（プット）が右ウィング（コール）より割高になります。ゼロなら、ジャンプは対称でスマイルもほぼ対称になります。
σJ（シグマJ）— ジャンプサイズのボラティリティ。 ジャンプサイズのばらつきの大きさです。たとえμJ = 0 でも、σJが高ければ、巨大なジャンプもあれば微小なジャンプもあります。これにより過剰尖度（正規分布より厚いテール）が加わり、ウィングの曲率が増します。
上のスライダーで試してみましょう。おすすめの3つの実験：
1. λ = 0 に設定します。スマイルはフラットになります — 純粋なBSです。
2. λ = 2, μJ = −0.15,σJ = 0.05 に設定します。急な下方スキューが生じます — 市場は上昇より暴落を強く織り込んでいます。
3. μJ = 0, σJ = 0.30 に設定します。両ウィングが対称に持ち上がります — 方向バイアスのない純粋なファットテールです。
プライシング公式
Mertonの価格付け公式はエレガントです：オプション価格は、起こり得るジャンプ回数それぞれに対応するBlack-Scholes価格の加重和です。バニラのBSコールを価格付けできれば、Mertonも価格付けできます。
σn² = σ² + nσJ²/τ — ジャンプが1回増えるごとに実効分散が増加します。
ウェイトはポアソン確率です — ちょうどn回のイベントが起きる確率で、対象期間は τ.
実務では10–15項で十分です。ポアソン・ウェイトは急速に減衰するためです。
以下のビジュアライゼーションは、Merton価格を最初の6項に分解します。左パネルは、選択した行使価格における各項をバーで表示します。右パネルは、すべての行使価格にわたって各項がどのように積み上がるかを示します — ATMとウィングでどの項が支配的かがわかります。
重要な観察：n=0の項（ジャンプゼロ）は通常のBlack-Scholes価格そのものです。高次の項は、ジャンプが実効ボラティリティを押し上げて遠い行使価格を到達可能にするため、ウィングに段階的に価値を加えていきます。
行使価格スライダーをウィング（K=80 または K=120）まで動かしてみてください。高いnの項の相対的な重要性が増すのがわかります。ATMではn=0が支配的です。ウィングではn=1やn=2が本格的に効き始めます — そこにジャンプ・プレミアムが宿っています。
ジャンプリスクはヘッジできない
Black-Scholesでは、デルタヘッジがすべてのリスクを消します — 連続的にリバランスすれば拡散リスクは相殺されます。ジャンプがあるとこれは崩れます。ジャンプは瞬時に起こり、リバランスは間に合いません。
考えてみてください。デルタヘッジは、小さな価格変動に応じて原資産ポジションを調整することで機能します。しかしジャンプは小さくありません — 価格はテレポートします。反応できる頃には、損害（あるいは棚ぼた）はすでに確定しています。あなたのヘッジはジャンプ前の価格に合わせたサイズであり、ジャンプ後の価格向けではありません。
つまり、Mertonの市場は不完備です。原資産と債券だけではすべてのペイオフを複製できません。ジャンプリスクは、市場が価格付けしなければならない独立したリスク要因です。現実世界のオプションが、BSのデルタヘッジのロジックが示唆する水準以上のプレミアムを持つのはこのためです。
「再生成」を何度か押してパターンを観察してください。BSパネル（左）では、累積PnLはふらつきますが比較的抑えられています — ヘッジが機能しています。Mertonパネル（右）では、ほとんどの時間PnLは似た動きですが、赤い縦線（ジャンプ）が現れるとPnLが急変します。
ジャンプによるPnLショックは、μJ < 0 のとき非対称になります。下方ジャンプが（ショートガンマの）ヘッジャーに与える損失は、上方ジャンプがもたらす利益より大きくなります。これが暴落プットにプレミアムが乗る根本的な理由です — このヘッジ不能なジャンプリスクを負う者は補償されなければなりません。
Merton vs. Heston vs. 現実
Mertonは短期のスマイルに優れています。Hestonは長期のスマイルに優れています。現実には両方が必要です — だからこそBatesモデル（Heston + ジャンプ）が業界の主力になりました。
重要な違いは次のとおりです：
短い満期ではジャンプが支配的です。 1週間のオプションは、確率ボラティリティが有意に「拡散」するには短すぎます。しかし単一のジャンプでも遠い行使価格に到達できます。Mertonのジャンプ成分は、短期のウィング価格の主要な駆動要因です。
長い満期では確率的ボラティリティが支配的です。 6か月の期間では、ボラティリティ自体が十分に上下し、それだけでファットテールを生み出します。ジャンプイベントは平均化の中で「希釈」されます — 252営業日に1回のジャンプは、5営業日に1回のジャンプより影響が小さいのです。
長期のウィング → ボラのボラ → Heston
両方 → Bates = Heston + Mertonジャンプ
実務上の帰結：Mertonを1か月物オプションにキャリブレーションし、それを1年物の価格付けに使うと、長期のスマイルはフラットになりすぎます。ジャンプ成分は√τとともに減衰しますが、ボラティリティ自体が不確実なため、市場のスマイルは長期の限月でも高いままです。
逆に、Hestonだけでは短期のウィングを過小評価します。ボラティリティ過程の動きは遅すぎて、市場が要求する極端な短期の尖度を生み出せません。それにはジャンプが必要です。
Black-Scholes： フラットなスマイル。スキューもウィングもありません。最もシンプルなベンチマークです。
Merton： ウィングが持ち上がったスマイル。特に短い満期で顕著です。スキューが生じるのは μJ < 0 のときです。ジャンプが希釈されるため、満期が長くなるとスマイルはフラット化します。
Heston： ボラのボラから生じるスマイル。長い満期でもスマイルが持続します。ボラとスポットの相関（ρ）を通じてスキューを生成します。
Bates： Heston + Mertonジャンプ。短期から長期までスマイルの期間構造に一致します。株式とクリプトにおける業界標準の選択肢です。