パス依存ボラティリティ (PDV)
本サイトのすべてのモデルは、ボラティリティが価格が現在どこにあるか（現在の水準、場合によっては現在のボラティリティ状態）に依存すると仮定しています。パス依存ボラティリティ（Guyon & Lekeufack, 2023）は、それだけでは不十分だと主張します。ボラティリティは価格がこれまでどこにあったかにも依存するのです。10%暴落して100に留まっていたコインとは同じように取引されません。暴落から回復したコインは、上昇したインプライド・ボラティリティ、より急なスキュー、そしてより広いウィングを持ちます。市場が暴落を記憶しているからです。
市場には記憶がある
BTCが直近で15%のドローダウンを経験した場合、価格が回復した後でもボラティリティは高いままです。PDVはボラティリティを2つの要素の関数とします。直近の実現ボラティリティと直近の価格トレンドです。それがモデルのすべてです。ボラティリティ・サーフェスは、単に現在の価格だけでなく、パスに応じて変化します。
実際に見てみる
暴落回復パスと横ばいパスを切り替えてみてください。どちらも同じ価格で終わりますが、異なるボラティリティ・スマイルを生み出します。メモリスライダーをドラッグして、ルックバック期間が効果をどのように変えるかを確認してください。
経路依存ボラティリティ
シナリオを切り替えると、同じ現在価格でも直近の経路によって異なるスマイルが生じることが分かります。メモリーのスライダーをドラッグして、ルックバック期間が効果をどう変えるかご確認ください。
仕組み
1. 価格パスから得られる2つの入力
PDVは直近の価格履歴を2つの数値に凝縮します。
2. ボラティリティはこの2つの入力の関数
このモデルはこう述べます。任意の行使価格におけるインプライド・ボラティリティは、現在のスポットに加えてこれら2つのパスの要約の関数である、と。確率ボラティリティの状態変数も、分数階微積分も、隠れマルコフ連鎖もありません。ただ「価格はどこにあり、どれだけ動いてきて、どちらの方向か？」だけです。
3. ラフモデルなしのラフボラティリティ挙動
このセットアップはいくつかの「難しい」現象を再現します。
- ボラティリティ・クラスタリング — 高いボラティリティは高いボラティリティを生みます。直近の実現ボラティリティが高いまま留まるからです
- レバレッジ効果 — 下落は上昇よりもボラティリティを大きく上昇させます。トレンド入力が関数をスキューさせるからです。直近のリターンによって変化するスキューを生み出します。
- ラフボラティリティ的なスケーリング — ボラティリティ・パスの見かけ上のラフネスは、分数階ブラウン運動を必要とせずにパス依存性から自然に現れます
- SPX/VIXの同時キャリブレーション — このモデルは指数オプションとVIXオプションの両方に同時にキャリブレーションできます。これはほとんどのモデルにはできないことです
なぜこれが暗号資産にとって重要か
暗号資産市場は極端なパス依存性を持ちます。清算カスケードの後、価格が回復してもボラティリティは数日間高いままです。長い上昇の後、ボラティリティは圧縮されます。PDVはこれを直接捉えます。従来のモデルはすべての60k BTCを同じように扱いますが、PDVは「70kから暴落した後の60k」を「50kから上昇した後の60k」とは異なるものとして扱います。この区別は価格付けとデルタヘッジにとって重要です。
PDV対他のモデル
強みと限界
最もシンプルなパス依存ボラティリティモデル
PDVは直近の実現ボラティリティと直近のトレンドを用いて、確率ボラティリティモデルが見逃すスマイルのダイナミクスを説明します。エキゾチックな数学なしに、ラフボラティリティ、ボラティリティ・クラスタリング、レバレッジ効果を再現します。PDVにおけるベガはブラック・ショールズとは異なります。パスの状態がスマイルの形状を変えるからです。トレードオフは、新しく、モンテカルロを必要とし、ルックバック期間の選択に依存することです。
方程式エクスプローラー
インプライド・ボラティリティ、全分散、対数マネーネス、オプション価格の間で変換します。
数式エクスプローラー
💡 ヒント： 回答を見る前に自分で答えてみましょう。
関連項目：
- SABRモデル — パス依存性のない古典的な確率ボラティリティ
- Rough Bergomi — PDVが近似できる分数階ボラティリティモデル
- Hestonモデル — 平均回帰する確率ボラティリティ（マルコフ、パスの記憶なし）
- ニューラルSDE / ディープヘッジ — ボラティリティモデリングへのもう一つのデータ駆動型アプローチ
- ボラティリティ・レジーム — PDVが自然に捉えるレジームの理解