ゼロから学ぶプット・コール・パリティ

1/5

セクション1

恒等式

プット・コール・パリティはモデルではありません。近似でもありません。これは 恒等式です — アービトラージによって成立が保証される数学的事実です。

プット・コール・パリティ

C − P = S − K·e⁻ʳᵀ

C = コール価格。 P = プット価格。同じ行使価格、同じ満期。
S = スポット価格。 K·e⁻ʳᵀ = 行使価格の現在価値。

左辺は同じ行使価格・満期におけるコールとプットの差です。右辺はスポットから割引後の行使価格を引いたものです。両者は常に等しくなります。もし乖離すれば、誰かがタダでお金を差し出していることになります。

下のスライダーを動かしてください。両辺を見比べてください。常に一致します — コール価格とプット価格は同じ原資産の現実から計算されるからです。

C − P

$1.24

$5.73 − $4.49

=

S − PV(K)

$1.24

$100.00 − $98.76

パリティが成立しています。両辺は等しく $1.24.

スポット (S)$100

ストライク (K)$100

時間 (T)0.25y

金利 (r)5.0%

ボラティリティ (σ)20%

スポット、行使価格、ボラティリティ、金利をどう動かしても、両辺は固定されたままです。これは偶然ではありません。コールとプットが独立した商品ではなく、同じフォワードの2つの見方であるという事実の帰結です。

セクション2

なぜ成立するのか

2つのポートフォリオを構築します。両者が満期で同一のペイオフを持つことを示します。あらゆるシナリオで同じ支払いをする2つのものは、今日の価格も同じです。

ポートフォリオA

コールのロング + K·e⁻ʳᵀ の現金

コールを買います。満期でちょうどKに成長するだけの現金を確保しておきます。

ポートフォリオB

プットのロング + 原資産のロング

プットを買います。原資産を買います。

満期では、両ポートフォリオとも max(S, K):

S > K の場合: ポートフォリオAはコールを行使し、S相当の原資産を得ます。現金(現在はK)は不要です。合計: S。ポートフォリオBはプットを満期消滅させ、S相当の原資産を保有します。合計: S。

S < K の場合: ポートフォリオAはコールを満期消滅させ、現金(現在はK)を保持します。合計: K。ポートフォリオBはプットを行使し、原資産をKで売却します。合計: K。

あらゆる世界の状態で同じペイオフ。今日の価格も同じ。これがプット・コール・パリティです。

ポートフォリオA：コール + K の現金

ポートフォリオB：プット + 原資産

どちらも満期時に max(S, K) を支払います。常に。線は完全に重なります。

行使価格 (K)$100

個別のペイオフを表示

2本の線は完全に重なります。行使価格を動かしても — まだ重なります。「個別ペイオフを表示」を切り替えると構成要素が見えます。コールと現金の組み合わせは、プットと原資産に正確に一致します。

セクション3

変換への活用

{C, P, S, K, r} のうち任意の4つと満期までの時間がわかれば、パリティが5つ目をタダで教えてくれます。

これが最も実用的な使い方です。コール価格を見てフェアなプットを知りたい場合。あるいはプットを見てインプライド・コールを逆算したい場合。恒等式を並べ替えます:

プットを求める

P = C − S + K·e⁻ʳᵀ

コールを求める

C = P + S − K·e⁻ʳᵀ

どの変数を求めるか選びます。他の値を入力します。あとは計算機がやってくれます。

求める変数:

コール価格 (C)

$

スポット価格 (S)

$

行使価格 (K)

$

リスクフリーレート (r)

%

満期までの時間 (T)

年

プット価格 (P)

$4.21

式: C − P = S − K·e⁻ʳᵀ

検証

C − P = 10.45 − 4.21 = 6.24

S − PV(K) = 105.00 − 98.76 = 6.24

セクション4

乖離の発見

パリティが破れると、タダのお金があります。問題は、その違反が取引コストをカバーできるほど大きいかどうかです。

パリティを成立させる古典的なアービトラージ取引が コンバージョン と リバーサル です。

C − P > S − PV(K) の場合: コールが割高です。コンバージョンを実行します — コールを売り、プットを買い、原資産を買い、PV(K)を借ります。

C − P < S − PV(K) の場合: プットが割高です。リバーサルを実行します — コールを買い、プットを売り、原資産を売り、PV(K)を貸します。

下で価格を設定して違反を作り出してください。ディテクターは、どの取引を行うべきか、そしてリスクフリーの利益を正確に示します。コール価格をプットに対して高く設定してみてください。

コール (C)

$

プット (P)

$

スポット (S)

$

ストライク (K)

$

金利 (r)

%

期間 (T)

年

C − P$7.00

S − PV(K)$6.24

差分$0.76

パリティが崩れています。乖離幅 $0.76. コールがプットに対して割高です。

コンバージョン（割高なコール側を売る）:

1売るコールを $12.00

2買うプットを $5.00

3買う原資産を $105.00

4借りる$98.76 をリスクフリーレートで

リスクフリー利益:$0.76

満期時、スポットの最終水準にかかわらず原資産を K で引き渡します。このコンバージョンにより、パリティの差 $0.76 がリスクフリー利益として確定します。

現実のチェック

実務では、アービトラージはタダではありません。ショートしたオプションと原資産には証拠金が必要です。執行リスクにより、各レッグの間で価格が動く可能性があります。取引所をまたぐポジションはカウンターパーティリスクを加えます。違反はすべての摩擦の合計を上回らなければなりません。だからこそ小さな乖離は残るのです — それらはノー・アービトラージ帯の内側にあります。

セクション5

実務でのPCP

クリプト市場では、株式なら数秒でアービトラージされて消えるはずのパリティ違反が時折見られます。その理由を説明します。

ファンディングレート。 パーペチュアルのファンディングが極端にプラス(強気相場)の場合、原資産のショートポジションを保有するのは高くつきます。リバーサルのコストが増えます。これによりプットが相対的にプレミアムで取引され、実際のキャリーコストを反映した見かけ上のパリティ違反が生じます。

取引所をまたぐ分断。 オプションはDeribitにあります。スポットはBinance、Bybit、OKXにあります。コンバージョンのすべてのレッグを1つの取引所でアトミックに執行することはできません。各レッグは異なる証拠金システムを持つ異なる取引所にあります。これがノー・アービトラージ帯を広げます。

証拠金コスト。 ショートしたオプションと原資産ポジションの両方に証拠金が必要です。コンバージョンに拘束された資本はわずかなリターンを得ますが、他に投入できません。資本の機会費用は現実的な摩擦です。

決済の仕組み。 クリプトオプションは原資産(インバース)またはUSD(リニア)で決済できます。決済方法はキャリー計算を変えます。インバース決済のBTCオプションは、同じ行使価格でもリニアのものとは異なる経済性を持ちます。

違反が本物かノイズか

$100 の行使価格に対する $0.50 の違反は 0.5% です。これはクリプトオプションの通常のビッド/アスクスプレッド内です。本物の違反ではありません。

$100 の行使価格に対する $5.00 の違反は 5% です。これは古い気配値、データエラー、または数分以内にアービトラージされる本物のミスプライシングのいずれかです。取引する前に、両サイドの気配値がライブであることを確認してください。

経験則: 違反が3つのレッグ(コール、プット、原資産)すべてのビッド/アスクスプレッドの合計より小さければ、それはノイズです。より大きければ、データを確認してください。データが正しければ、誰かがお金を置き去りにしています。

次に読むべきもの:

ブラック・ショールズ — パリティを尊重するプライシングモデル

インプライド・ボラティリティ — 両レッグは同じIVを示すべきです

ベーシス取引 — ベーシスがフォワードとパリティにどう影響するか