5次多項式モデル

SVIは、ボラティリティ・スマイルのフィッティングにおける業界標準です -- 5つのパラメータで、1スライスずつフィットします。しかし、SVIには特定の形状仮定が組み込まれています。すなわち、スマイルは常に平行移動・スケーリングされた双曲線であるという仮定です。市場がSVIでは再現できない動きをすると、フィットの精度が低下します。5次多項式モデル(Gauthier & Possamai, 2023)は、この形状仮定を完全に取り払います。トータルのインプライド・バリアンスを、対数マネーネスの多項式としてフィットします -- 5つまたは6つの係数を持つ4次または5次の多項式です。SVIが構造的に取りこぼす形状も含め、市場が生み出すあらゆるスマイル形状にフィットできます。

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形状制約のないSVI

SVIと同じパラメータ数。同じく1スライスずつのフィッティング。しかし、SVIが双曲線の形状を強制するのに対し、多項式ではデータに形状を決めさせます。トレードオフとして、SVIに組み込まれたウィングの挙動が失われ、アービトラージ・フリーを保つための明示的な制約が必要になります。スキューと曲率は独立したパラメータとして操作できます。

実際に動かしてみる

スライダーをドラッグして、各係数がスマイルをどのように形作るかを探索してください。SVIでは再現できない形状として「Double bump」プリセットを試してみてください。

5次多項式スマイル・エクスプローラー

SVIに典型的な放物線形状。対称なウィングと中程度のスキュー。

ATM水準0.045

全体のボラティリティ水準を設定します

スキュー-0.015

スマイルを左（プット・スキュー）または右に傾けます

曲率0.080

スマイルの開き具合を決めます

非対称性-0.010

片方のウィングをもう一方より急にします

ウィングの傾き0.020

ウィングの上昇速度を制御します。値が大きいほどテールが急になります。

「ダブルバンプ」を選び、「SVI参照を表示」を切り替えると、多項式では生成できてもSVIでは構造的に生成できない形状を確認できます。

仕組み

1. トータル・バリアンスを多項式で表す

満期 $T$ に対して、トータル・インプライド・バリアンス $w(k) = \sigma^2(k) \cdot T$ を、対数マネーネス $k = \log(K/F)$ の多項式としてモデル化します:

$$w(k) = c_0 + c_1 k + c_2 k^2 + c_3 k^3 + c_4 k^4$$

各係数には、トレーダーにとって直接的な解釈があります:

係数

トレーダーの呼び名

制御するもの

c0

ATM水準

全体的なボラティリティ水準。c0が高いほどATMのインプライド・ボラティリティが高くなります。

c1

スキュー

スマイルを傾けます。負の値はプット・スキュー(左ウィングが高い)を意味します。

c2

曲率

スマイルがどれだけ大きく開くか。バタフライの割高度を制御します。

c3

非対称性

一方のウィングを他方より急にします。奇数次項の効果です。

c4

ウィングの急峻さ

極端な行使価格でウィングがどれだけ速く立ち上がるかを制御します。

2. アービトラージ制約はシンプルな境界条件

多項式がアービトラージ・フリー(正のバリアンス、凸なコール価格)であるための制約は、係数に対する不等式に帰着します。複雑な数値チェックは不要で、フィッティング時に係数に境界を設けるだけで済みます。

3. フィッティングが高速

市場データへの多項式のフィッティングは最小二乗問題であり、マイクロ秒単位で解けます。フィットは流動性が最も高いATMのストライクに重み付けされます。係数の境界を線形制約として追加すれば、小規模なQP(二次計画問題)になります -- SVIの非線形最適化よりも高速かつロバストです。

ℹ️

高次の多項式はウィングで振動する

6次や7次の多項式はウィングで振動します(ルンゲ現象)。4~5次であれば、最後の流動的なストライクの先にアーティファクトを生み出すことなく、実際のスマイル形状を捉えるのに十分な柔軟性があります。ディープOTMのウィングの挙動については、明示的な外挿ルールが必要です。

5次多項式 vs. SVI

特徴

SVI

5次多項式

スライスあたりのパラメータ数

5

5(4次)または 6(5次)

形状仮定

双曲線(組み込み)

なし

フィット品質

典型的なスマイルには良好

あらゆる形状にフィット可能

ウィングの外挿

線形(有界)

多項式(発散)

アービトラージ制約

複雑な非線形

シンプルな係数境界

フィッティング手法

非線形最適化

最小二乗法 / QP

業界での採用実績

数十年の実績

新しい(2023年)

SSVI型のサーフェス版

あり(SSVI)

研究段階

暗号資産市場との関連性

暗号資産のスマイルは、SVIが苦手とする形で非対称になることがよくあります -- 清算カスケードによる急なプット・スキュー、エアドロップのオプショナリティに起因するコール側の異常なコブ、建玉が集中する人気ストライク付近の「キンク」したスマイルなどです。多項式モデルは、双曲線構造を強制することなくこれらの形状にフィットします。多項式スマイルから計算されるデルタとベガは、構造上滑らかになります。主な制約は、暗号資産オプションのストライクが疎であることです。慎重に制約を課さないと、多項式はデータ点の間で不自然な挙動を示すことがあります。

💡

形状バイアスのないSVIのシンプルさ

SVIが構造的に再現できないスマイルにフィットします。代償として、SVIの安定したウィング外挿が失われ、アービトラージ制約を明示的に扱う必要があります。複数満期のサーフェスには別途期間構造の制約が必要です。スマイルが特殊な形をしている市場や、SVIのフィット残差が大きすぎる市場に最適です。

数式エクスプローラー

インプライド・ボラティリティ、トータル・バリアンス、対数マネーネス、オプション価格の間の変換を行えます。

数式エクスプローラー

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

インプライドボラ (σ)

%

インプライド・ボラティリティ

満期までの期間

日

満期までの暦日数

総分散 (w)

0.022225

年率換算分散 (σ²)

0.2704

逆算IV

52.00%

総分散は、SVIなどのモデルがフィットする対象です。時間とともに増えるため、30日間の50%ボラは90日間の50%ボラよりも総分散が小さくなります。

次に進む前に理解度をテストしましょう。

Q: なぜ5次多項式モデルは、SVIが再現できないスマイル形状にフィットできるのですか?

Q: ウィングの外挿に多項式を使う主な欠点は何ですか?

Q: 流動的なストライクが6本しかない暗号資産で満期3日のスライスをフィットする場合、SVIと多項式のどちらを選びますか?

💡 ヒント： 回答を見る前に自分で答えてみましょう。

数学的直感を身につける

5次多項式をゼロから学ぶインタラクティブレッスン · 前提知識は不要です

このレッスンでは、多項式フィットがなぜスマイルの柔軟性を追加でもたらすのか、トータル・バリアンス多項式がどのように機能するのか、そして形状の自由度を上げるほど、より強力なアービトラージ・チェックが重要になる理由を解説します。

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