5次多項式をゼロから
1/5スマイルを多項式でフィットする
SDEや確率ボラティリティモデルの選択は忘れてください。トータル分散カーブ w(k) を取り、対数マネーネスの多項式で直接フィットします。スライスごとに係数6個。それで完了です。
この発想は拍子抜けするほど単純です。トータル分散 w(k) =σ²·T は対数マネーネス k = ln(K/F) の関数です。これを多項式でフィットするだけです：
これを SVI と比較してみましょう。SVI は明確な幾何学的意味を持つ5つのパラメータ（水準、傾き、曲率、中心、傾斜）を持ちます。五次多項式は本質的な意味を持たない6つのパラメータを持ちます — 単なる多項式係数です。解釈を失う代わりに、柔軟性を得るのです。
各係数はスマイル形状の異なる側面を制御します： a₀ は ATM レベルを設定します。a₁ は線形スキューを制御します。a₂ は曲率を制御します。より高次の項は、SVI の固定された形状では捉えられない非対称性や微細な構造を扱います。
SVI は成形された鋳型です：特定のファミリーのスマイルしか作れません。五次多項式は柔らかい粘土です：より多くの形状を作れますが、粘土はスマイルがどう見えるべきかを知りません。無意味な形状を作らないように、外部からの規律（制約）が必要です。
なぜ五次なのか？
次数5が最適な塩梅です。三次は現実的なスマイルには硬すぎます。四次は役立ちますが、プットウィングとコールウィングの非対称性を扱えません。七次（次数7）は振動します。五次はちょうど針の穴を通します。
三次（次数3）： 係数4個。傾いたスマイルは捉えられますが、各ウィングの独立した曲率は捉えられません。左ウィングが急で右ウィングが平坦な場合、三次は中心を歪めずに両方をフィットできません。
四次（次数4）： 係数5個。より良く — 対称的な曲率は扱えますが — ウィングをきれいに区別できるほど高次の奇数べき項がまだ足りません。
五次（次数5）： 係数6個。追加された五次項が、適切なマネーネス範囲でウィングの非対称性を独立に制御します。現実のスマイルは非対称であり（株式でも暗号資産でもプットウィングがコールウィングより急）、五次はこれを過学習せずに捉えます。
七次（次数7）以上： 自由度が多すぎます。多項式がデータ点の間で振動し始め、市場データにはない偽の隆起やうねりを生み出します。これは古典的なバイアス・バリアンスのトレードオフです：柔軟性が高いほど過学習リスクが増します。
上の比較を見てください。各次数をクリックしてみましょう。三次はウィングを外します。四次は近いですが硬いです。五次は一致します。七次はうねり始めます。あの視覚こそが次数5を選ぶ議論のすべてです。
多項式に対する裁定制約
多項式スマイルモデルの根本的な問題はこれです：ウィングでの成長が速すぎるのです。Roger Lee のモーメント公式によれば、|k| が無限大に向かうとき、トータル分散は |k| に対して高々線形にしか成長できません。次数5の多項式は k⁵のように成長します。これが問題です。
Lee のモーメント公式（2004年）はインプライド・ボラティリティの漸近的挙動を確立します：
上のチャートはその違いを鮮明に示しています。SVI のウィングは有界で、線形の傾きに近づきます。五次多項式のウィングは発散します。遠いウィングでは、多項式は負のバタフライスプレッドを意味するインプライド・ボラティリティ — 無料のお金 — を提示します。
対処法： 五次多項式はスマイルの内側だけに使い（例えば |k| < 0.5）、外挿にはウィングモデル（線形または SVI 的なもの）にブレンドします。これが標準的な本番アプローチです：内側は多項式、ウィングは制御されたもの。
あるいは、フィット中に明示的な制約を追加できます：
1. w(k) ≥ 0 すべての k について（分散は正でなければなりません）。
2. w(k) is convex 内側で（バタフライ裁定なし — これが Durrleman の条件です）。
3. w(k)/|k| ≤ 2 フィット範囲の端点で。
これらの制約はすべて係数について線形または二次であるため、制約なし最小二乗ではなく、制約付き最小二乗問題（二次計画問題）を解くことで適用できます。
キャリブレーションはただの線形回帰
SVI の非線形最適化（初期化、反復が必要で、局所最小値にはまることがある）とは異なり、多項式のフィットは線形最小二乗問題です。行列を組み立て、1つの線形システムを解くだけで完了です。
N 個の観測データ点 (kᵢ, wᵢ) が与えられたとき、問題は次のとおりです：
上のデータ点をドラッグしてください。フィットは即座に更新されます。単なる行列の求解だからです — 反復もなく、収束の問題もなく、初期化への感度もありません。これを SVI キャリブレーションと比較してください。SVI では最適化ソルバーが数十回の反復を要することがあり、開始点によって異なる答えを見つけるかもしれません。
制約の追加： 前のセクションの裁定制約（正値性、凸性、ウィング境界）を追加すると、問題は制約なし最小二乗ではなく二次計画問題（QP）になります。QP も依然として高速でよく研究されています — ソルバーはミリ秒単位で処理します。要点：制約付き五次多項式でも SVI より劇的に速くキャリブレーションできます。
数値的安定性： マネーネス範囲が広いと、Vandermonde 行列は悪条件になることがあります。標準的な対策：(1) フィット前に k を [-1, 1] にスケールする、(2) 生のべき乗の代わりに直交多項式（Chebyshev、Legendre）を使う。これらは定型的な数値解析の手法です。
五次多項式 vs SVI
どちらもあらゆる場面で勝つわけではありません。五次多項式はフィットが速く、内側でより柔軟です。SVI はウィングが有界で、解釈可能なパラメータを持ちます。どちらを使うべきかを知りましょう。
五次多項式が勝つとき：
1. 高速なキャリブレーションが必要なとき（リアルタイム・サーフェスのために毎秒数千スライス）。線形求解は速度で無敵です。
2. 観測されたスマイルに、SVI の固定形状では一致できない特徴があるとき — 局所的な隆起、異常な曲率、非対称なウィング。五次多項式は内側でより柔軟です。
3. スマイルの内側で作業しているとき（|k| < 0.3）で、ウィングの挙動が問題にならず、観測データへの可能な限りタイトなフィットが欲しいとき。
SVI が勝つとき：
1. 信頼できるウィング外挿が必要なとき。SVI のウィングでの漸近的線形性は構成上正しいです。五次多項式はクリップまたはブレンドする必要があります。
2. リスク管理のための解釈可能なパラメータが欲しいとき。SVI の a（水準）、b（角度）、 ρ （傾斜）、m（中心）、 σ （ウィング平滑化）は観測可能なスマイルの特徴に直接対応します。
3. 満期をまたぐサーフェスを構築しているとき。SSVI は SVI を無裁定保証付きで完全なサーフェスに拡張します。同じ保証を持つ標準的な「サーフェス五次多項式」は存在しません。
本番での妥協： 多くのデスクは両方を使います。五次多項式は高速な内側の補間とリアルタイムの提示に。SVI または SSVI は公式サーフェス、ウィング外挿、リスクレポートに。五次多項式はデータの密な中心を、SVI は疎なウィングを扱います。
五次多項式は市場のモデルではありません。曲線フィッティングのツールです。ダイナミクス、ヘッジ、あるいはスマイルがなぜその形状を持つのかについては何も語りません。SVI も曲線フィッティングのツールですが、サーフェスに拡張できるだけの構造を持ちます。実際のダイナミクスには、SABR、Heston、または確率ローカルボラティリティモデルが必要です。五次多項式は生データと本物のモデルの間の空間に位置します — ノイズの多い観測から滑らかで補間されたスマイルを得る最速の方法なのです。
次に進む先：
SVI パラメータ化 -- 有界なウィングを持つ標準的なスマイルモデル
SSVI サーフェス -- SVI を無裁定保証付きで完全なサーフェスに拡張したもの
補間手法 -- すべてのフィット手法を比較