ゼロから学ぶRough Bergomi
1/5ボラティリティはラフな経路を持つ
研究者たちが実現ボラティリティの高頻度での挙動を測定したところ、あらゆる古典的モデルを覆すものを発見しました。ボラティリティ増分の自己相関は、指数関数的にではなく、べき乗則に従って減衰するのです。ボラティリティの経路は、誰もが想定していたよりもはるかにギザギザです。
Heston、SABR、あるいは拡散ベースのいかなるモデルにおいても、分散過程は標準ブラウン運動によって駆動されます。BMのハースト指数は H = 0.5 であり、その増分は無相関であることを意味します。結果として得られる経路は連続的ですが、直感的な意味で「ほとんどの場合」微分できる程度に滑らかです。
Gatheral、Jaisson、Rosenbaum (2018) は、株価指数と個別株式の実現ボラティリティを測定しました。彼らは、対数ボラティリティ増分の自己相関がラグとともにどのように減衰するかを調べました。その結果、それはべき乗則として減衰します、γ(k) ∼ k2H−1, with H ≈ 0.1 です。H = 0.5 でも、H = 0.3 でもありません。H はゼロに近いのです。
定規で線を引くのと、誰かに肘を突かれながらペンで走り書きするのを比べてみてください。古典的モデルは定規を使います。ラフボラティリティは、走り書きの方が現実に近いと言います。ペンは、ある平均回帰OU過程の周波数だけでなく、あらゆる時間スケールで絶えず方向を変えます。
H ≈ 0.1 は実際には何を意味するのでしょうか？ボラティリティ増分は 強く負に相関しています。直近5分間でボラティリティが上昇した場合、次の5分間では下落する可能性が高くなります。あらゆる時間スケールで繰り返されるこの絶え間ない反転こそが、パスをラフに見せる要因です——高速道路というより海岸線のように、ギザギザでフラクタルな形状になります。
これはモデリング上の選択ではありません。株式、指数、FX、暗号資産にわたって観測される実証的事実です。H ≈ 0.1 という普遍性は、現代の金融計量経済学における最も注目すべき発見の一つです。
上のスライダーをドラッグしてください。H = 0.5 では、すべてのラグで自己相関がゼロです——標準的なBMであり、記憶がありません。H を 0.1 に向けて下げると、自己相関は強く負になります。増分は反相関しています。これがラフネスです。
H が制御するもの
H はハースト指数です。これは確率過程がどれだけラフに、あるいは滑らかに見えるかを支配する唯一の数値です。ラフボラティリティ理論のすべては、H が 0.5 よりもはるかに小さいことから流れ出ます。
H = 0.5: 標準的なブラウン運動です。これは Heston が用いるものです。増分は無相関です。パスは連続ですが微分不可能です。古典的なファイナンスが想定する「デフォルト」のラフネスです。
H < 0.5: ラフ。増分は反相関です。H が小さいほど、パスはラフになります。H = 0.1 では、パスはまるで地震計が描いたかのように見えます。あらゆる時間スケールで、上向きの揺れの後にはたいてい下向きの揺れが続きます。
H → 0: 極めてラフ。極限では、パスは非常にギザギザになり、かろうじて連続と言えるほどになります。実用上は、H ≈ 0.1 で現実の市場に一致するほど十分にラフです。
H > 0.5: 滑らか(持続的)。増分は正の相関を持ちます。パスはトレンドを形成します。このレジームはボラティリティには関係ありませんが、一部の水文学やネットワークトラフィックのモデルに現れます。
上のパネルは、H = 0.1、0.3、0.5 における3つの分散経路を並べて示しています。視覚的な違いは劇的です。H = 0.5 では経路は滑らかに蛇行します。H = 0.1 ではテレビ画面のノイズのように見えます——絶え間ない反転、ギザギザのピーク。
下のパネルのスライダーを使って H を連続的に変化させてください。H を下げるにつれて経路が滑らかからラフへと変わる様子を観察してください。これは特定のモデルのパラメータではありません——実際のボラティリティデータの測定可能な性質です。
ラフ Bergomi モデル
Bayer、Friz、Gatheral (2016) は、ラフボラティリティの実証的発見を取り上げ、それを中心とした価格付けモデルを構築しました。分散過程は標準BMではなく、フラクショナルブラウン運動によって駆動されます。その結果は、エレガントで、簡潔で、非マルコフ的です。
η (eta): vol-of-vol。分散がフォワードカーブからどれだけ乖離するかを制御します。値が大きいほど η = スマイルが広くなります。
WH(t): ハースト指数 H を持つフラクショナル・ブラウン運動。これがラフなドライバーです。
−½η²t2H: E[v(t)] = を保証する凸性補正 ξ₀(t)。このモデルは分散の期間構造に自動的にキャリブレーションされます。
スポット価格は、瞬間分散 v(t) を伴う通常の対数正規拡散に従います：
自由パラメータを数えてみましょう: H (ハースト指数)、 η (vol-of-vol)、そして ρ (スポット・ボラティリティ相関)。合計で3つのパラメータに加え、市場から読み取るフォワード分散カーブ ξ₀(t) があります。Heston の5つの自由パラメータと比較してください。このモデルはより簡潔です。
Heston との決定的な違い: このモデルはマルコフ的ではありません。Heston では、分散の将来は現在の分散の水準だけに依存します。ラフ Bergomi では、将来はパスの全履歴に依存します。フラクショナル BM には長距離依存性が組み込まれています。状態を単一の数値で要約することはできません。
上でマルコフとラフを切り替えてください。2つの分散経路は「NOW」の時点で同じ水準に到達しますが、異なる経路を通ってそこに至りました。Heston（マルコフ）では、それらの将来の分布は同一です——モデルに記憶がありません。ラフ Bergomi では、上昇していた経路は、下降していた経路とは異なる将来のコーンを持ちます。履歴がダイナミクスに組み込まれているのです。
あなたがボラティリティトレーダーで、30日実現ボラティリティが 45% であるのを見たとしましょう。あなたは知りたいはずです：20% から急騰してそこに至ったのか（速く平均回帰する可能性が高い）、それとも 40% からゆっくりと押し上げられたのか（持続する可能性が高い）？Heston はこの2つのシナリオを区別できません。ラフ Bergomi はできます。経路の履歴には将来についての情報が含まれているのです。
ラフボラティリティが短期スマイルを説明する理由
ラフボラティリティ理論のキラーアプリケーション:それは ATM スキューが TH−0.5 に比例してスケールすると予測します。H = 0.1 では、これは短期満期でスキューが急拡大することを意味します——まさに暗号資産市場や株式市場が示すとおりです。
ATM スキューは、対数マネーネスの関数としてのインプライド・ボラティリティの傾きを、アット・ザ・マネーで評価したものです。あらゆる確率ボラティリティモデルは、このスキューと満期 T との間の特定の関係を予測します：
H = 0.1 (rough): skew ∝ T−0.4。スキューは T → 0 に向かって急拡大します。現実のデータに一致します。
これがラフボラティリティ全体のプログラムのオチです。古典的モデルは、フロントエンドで平坦すぎるスキューの期間構造を予測します。それらは3ヶ月スキューには適合できますが、1週間や1日のスキューには苦労します。トレーダーは何年も前から、短期スマイルが Heston の予測よりも急であることを知っていました。ラフボラティリティはその理由を説明します：原資産の分散過程のラフネスが、満期が縮小するにつれてスキューがどれだけ速く増大するかを直接制御するのです。
上のチャートは、対数スケールで3つのレジームを示しています。H = 0.1（緑）では、スキュー曲線は急です——短期スキューは長期スキューよりもはるかに大きくなります。H = 0.5（赤、Heston風）では、曲線はほぼ平坦です。黄色い点は実証的な BTC データで、H = 0.1 の曲線に密接に追従しています。
これは偶然ではありません。BTC の実現ボラティリティのデータから H を測定すると、H ≈ 0.1 が得られます。BTC オプションから導かれるスキューの期間構造を見ると、それは T−0.4 に比例してスケールします。理論とデータが一致するのです。
Heston がこれを誤る理由: Heston の CIR 分散過程は標準的な BM(H = 0.5)によって駆動されます。ゼロ未満の指数を持つべき乗則のスキュー減衰を生み出すことはできません。次の値を上げることで Heston のスキューを急にすることはできますが σ (vol-of-vol) が必要になりますが、これはFeller条件に違反し、数値的な問題を引き起こします。Rough Bergomiは、パラメータを無理にひねることなく、自然に急峻な短期スキューを実現します。
価格付けの課題
ラフ Bergomi は理論的に美しく、実証的に裏付けられています。しかし、使用するにはコストがかかります。閉じた形の価格式もなく、PDE もなく、高速フーリエの技も使えません。モンテカルロのみで、しかも非マルコフ構造のためにそれさえも遅いのです。
閉形式の特性関数が存在しません。 Hestonの最大の特徴は、フーリエ逆変換による準解析的なプライシングです。Rough Bergomiにはこれがありません。フラクショナルBMのドライバーが、Hestonの特性関数を解ける形にしているアフィン構造を壊してしまうのです。
モンテカルロ法のみ。 Rough Bergomiの下でバニラオプションをプライシングするには、分散過程のパスをシミュレーションし、満期時のスポット価格を計算し、ペイオフを平均します。標準的なモンテカルロ収束: 1/√N。1ベーシスポイントの精度で価格を得るには、大量のパスが必要です。
fBMのシミュレーションはコストが高い。 標準的なBMはマルコフ過程です。次のステップをシミュレーションするには、現在の値だけが必要です。fBMは非マルコフ過程です。次のステップを正しくシミュレーションするには、パス全体の履歴が必要です。単純なコレスキー分解は、パスあたりメモリでO(N²)、時間でO(N³) のコストがかかります。ここでNは時間ステップ数です。長いパスにとっては過酷です。
ハイブリッド方式。 Bayer、Friz、Gatheralは、fBMカーネルを「近い」部分（厳密に計算）と「遠い」部分（少数の基底関数で近似）に分割するハイブリッド方式を提案しました。これによりコストはパスあたりおよそO(N · log N) に低減され、キャリブレーションが実行可能になりますが、トレーディングデスクでのリアルタイムプライシングにはまだ十分な速さではありません。
PDEなし。 Hestonのようなマルコフモデルは、PDE（有限差分）によってプライシングできます。これにより、高速なグリッドベースのプライシングが可能になります。非マルコフモデルには有限次元の状態空間がないため、PDEを書くことができません。「非マルコフ性の呪い」とは、状態が無限次元（パス履歴全体）であることを指します。
実務におけるRough Bergomiの位置づけ:
1. 研究とキャリブレーション調査。 学者やクオンツ研究者は、ラフボラティリティ仮説を検証し、他のモデルをベンチマークするためにこれを使用します。もし高速モデル（SVI、SABR）がRough Bergomiの予測と異なるスキューを示すなら、何かがおかしいと分かります。
2. 夜間キャリブレーション。 一部のデスクは、診断としてRough Bergomiのキャリブレーションを夜間に実行します。これにより、日中の高速モデルがスキューの動態を捉えそこねていないかどうかが分かります。
3. 直感を養う。 たとえモデルをライブで実行することが決してなくても、ラフボラティリティを理解することで、短期オプションについての考え方が変わります。1日スキューがモデルの予測より急峻に見えるとき、ラフボラティリティはそれが正常であると教えてくれます。市場のラフな分散パスが表れているのです。
4. ニューラルネットワークによる代替。 最近の研究では、Rough Bergomiの価格を近似するようニューラルネットワークを訓練しています。ネットワークはオフラインで（遅いモンテカルロを使って）パラメータから価格への写像を学習し、実行時にはミリ秒で評価します。これにより、いずれラフボラティリティが本番環境で使えるようになるかもしれません。
Rough Bergomiは、数理ファイナンスと計量経済学の交差点に位置します。これは、測定値（H ≈ 0.1）が直接モデルを規定した稀な例の一つです。ほとんどのモデルはまず発明され、後から当てはめられます。ラフボラティリティは、まずデータの中で発見され、その後に定式化されました。この実証的な裏付けこそが、計算コストが高いにもかかわらずコミュニティがこれを真剣に受け止めている理由です。