このページは機械翻訳されています。英語の原文が正式版です。 英語で読む →
メインコンテンツにスキップ

SABRモデル

情報

このページではSABRモデルを詳しく解説します。ボラティリティ・サーフェスのパイプラインにおける位置づけについてはサーフェスの構築方法を、他の手法との比較については補間手法をご覧ください。

**SABR（Stochastic Alpha Beta Rho：確率的アルファ・ベータ・ロー）**は、Hagan、Kumar、Lesniewski、Woodward（2002年）によって導入された確率的ボラティリティモデルです。スマイルの形状を記述するSVIとは異なり、SABRはスマイルを生み出すダイナミクスを記述します。スマイルは、ボラティリティが原資産とともにどのように変動するかの帰結として、モデルから自然に導き出されます。

SABRは金利スワップションやキャップ/フロアにおいて支配的なモデルです。暗号資産市場ではあまり一般的ではなく、フィッティングがよりシンプルでウィングの挙動が優れているSVIが好まれています。

パラメータを探索する​

各パラメータを調整して、SABRスマイルがどのように変化するかを確認してください。「Show backbone」を切り替えると、CEVのみの曲線（ボル・オブ・ボルなしのスマイル）が表示されます。

SABRスマイル・エクスプローラー

金利スワップションの典型的なスマイル。中程度のスキュー、緩やかな曲率。
4%9%13%758595ATM105115125行使価格インプライド・ボラティリティ (%)
α(ボラ水準)0.30
現在の瞬間ボラティリティ
β(バックボーン)0.50
0 = 正規、0.5 = 平方根、1 = 対数正規
ρ(スポット・ボラ相関)-0.30
負 = プット・スキュー(通常)
ν(ボル・オブ・ボル)0.40
スマイルの幅を制御します。0 = スマイルなし。

「バックボーンを表示」を切り替えると、CEVのみの曲線(ボル・オブ・ボルなし)が確認できます。バックボーンとフルスマイルの差がνの寄与です。

各パラメータの役割​

  • α\alpha（ボラティリティ水準）: 現在の瞬間的ボラティリティです。α\alpha が高いほど全体的なIVが高くなります。これは最も頻繁に再キャリブレーションされるパラメータです。
  • β\beta（バックボーン）: ボラティリティが原資産価格に対してどのようにスケールするかを制御します。β=1\beta = 1 はパーセンテージ・ボラティリティが一定（対数正規）であることを意味します。β=0\beta = 0 はドル建てボラティリティが一定（正規）であることを意味します。β=0.5\beta = 0.5 はその中間（平方根）です。実務では、β\beta は通常フィッティングされるのではなく、市場慣行に基づいて固定されます。
  • ρ\rho（スポットとボラティリティの相関）: スキューを制御します。ρ\rho が負の場合、原資産が下落するとボラティリティが上昇します（株式市場や暗号資産市場で一般的な挙動）。ρ\rho が正の場合はその逆になります（稀）。
  • ν\nu（ボル・オブ・ボル）: スマイルの幅を制御します。ν=0\nu = 0 の場合、スマイルは存在せず、β\beta と ρ\rho が生み出すスキュー（「バックボーン」）のみとなります。ν\nu が増加すると、両方のウィングが持ち上がります。

バックボーン​

上のエクスプローラーで「Show backbone」をクリックしてください。破線は ν=0\nu = 0 のときのスマイル、つまりボラティリティにランダム性がなく、決定論的なCEVモデルのみの状態です。バックボーンと完全なスマイルの間のギャップが、ν\nu（ボル・オブ・ボル）の寄与分です。この分解はSABR特有のもので、スマイルの曲率がどこから来ているのかについてトレーダーに明確な直感を与えてくれます。

キャリブレーション​

標準的なアプローチ​

  1. β\beta を市場慣行に固定します：

    • 金利：β=0.5\beta = 0.5（一般的）または β=0\beta = 0（正規SABR）
    • 株式：β=1\beta = 1（対数正規）
    • β\beta を固定すると、モデルの自由パラメータは3つになります。

  2. α\alpha をATMボラティリティに固定します。 α\alpha とATMインプライド・ボラティリティの間には、ほぼ閉形式の関係が存在します。観測されたATMのIVが与えられれば、α\alpha を解くことができます。これによりフィッティングは自由パラメータ2つに削減されます。

  3. ρ\rho と ν\nu をフィッティングします。SABRスマイルと各行使価格で観測されたIVとの間の加重誤差を最小化します。パラメータが2つだけなので、高速かつロバストです。

重み付け​

  • ATMには最大の重みを付けます（最も流動性が高く、最も信頼できる）
  • ビッド/アスクのスプレッドがタイトなオプションほど重みを大きくします
  • ディープOTMのオプションには重みを小さくします（Hagan近似の精度がそこでは低下するため）

強み​

ダイナミクスの解釈が可能。 SABRは、原資産が動いたときにスマイルがどう動くべきかを教えてくれます。デフォルトでは、SABRはスティッキー・デルタに近い挙動を生成します：スポットが下落するとボラティリティが上昇し（ρ<0\rho < 0 の場合）、スマイルはスポットとともにシフトします。これは、スマイルのダイナミクスがヘッジにとって重要な商品において価値があります。

バックボーン分解。 バックボーン（β\beta 由来のスキュー）とスマイル（ν\nu 由来の曲率）の分離は、トレーダーに明確なメンタルモデルを提供します。

パラメータが少ない。 β\beta を固定し、α\alpha をATMに固定すれば、フィッティングするパラメータは2つだけです。高速であり、オーバーフィッティングの余地がほとんどありません。

限界​

ウィングの問題。 Hagan近似は、遠いウィングにおいて負のインプライド・ボラティリティや負の確率密度を生成することがあります。これは既知の問題です。本番システムでは、修正版の定式化（アービトラージフリーSABR、または極端な行使価格に対するPDEソルバー）が使用されます。

長期満期。 漸近展開は、満期が10〜15年を超えると精度が劣化します。代わりに数値的手法を使用してください。

静的フィットであり、動的キャリブレーションではない。 SABRのダイナミクスの解釈にもかかわらず、実務では（SVIと同様に）各満期が独立にフィッティングされます。ダイナミクスの物語は、運用上強制されるものではなく、あくまで理想像です。

SABRとSVIの比較​

SABRSVI
モデル化の対象スマイルを生み出すダイナミクススマイルの形状
パラメータ数3（β\beta 固定の場合）5
アービトラージHaganの公式はウィングで違反しうるクリーンな制約条件が利用可能
ウィングの挙動極端な行使価格で破綻しうる有界で、線形の漸近線
速度公式の評価最適化
最適な用途金利、FX株式、暗号資産

重要な違い：SABRは「スマイルはどう動くのか？」に答え、SVIは「スマイルはどんな形なのか？」に答えます。シンプルなヨーロピアン・オプションのプライシングとリスク管理では、SVIのよりシンプルなフィッティングと優れたウィングの挙動が通常勝ります。スマイルのダイナミクスが重要な商品（バミューダン・スワップション、スティッキー・デルタ下のバリアオプション）では、SABRのダイナミクスの解釈が価値を持ちます。

SVIとの関係​

SABRはSVIフィットの初期化に使用できます。まずSABRをフィッティングし（高速な2パラメータ最適化）、SABRスマイルを多数の行使価格で評価してから、それらの点にSVIをフィッティングします。これにより、市場データが疎な場合でもSVIに良い初期値を与えることができます。

数学的直感を養う​

SABRをゼロから学ぶインタラクティブレッスン · 4つのパラメータ、5つのセクション

上のインタラクティブなレッスンでは、SABRの4つのパラメータを1つずつ解説します：アルファがボラティリティ水準を設定する仕組み、ローがスキューを傾ける仕組み、ニューがウィングを持ち上げる仕組み、そしてベータがバックボーンのダイナミクスを制御する仕組みです。各セクションには専用のスライダーが用意されており、1つのパラメータの効果を分離して確認できます。

オープンソース実装​

リポジトリ参照する理由
QuantLibSABRのHagan近似 + キャリブレーション
pysabr純粋なPythonによるSABR実装、読みやすい
OpenGamma Strata本番リスク管理におけるスマイル補間付きSABR

関連ページ:

最終更新: