ゼロから学ぶSABR
1/5SABRはボルに独自のプロセスを与える
Black-Scholesではボラティリティは定数です。現実の世界ではボルは動き回り、しかもスポットと連動して動きます。SABRはこの両方の事実を捉えます。
SABRモデルは、2本の連立SDEからなるシステムです。フォワード価格 F と確率的ボラティリティ σ は次のように連動して変化します:
dσ = α·σ·dW₂
corr(dW₁, dW₂) = ρ
4つのパラメータには、それぞれ明確なマーケット上の意味があります。α はボル・オブ・ボルで、ボラティリティ自体がどれほど激しく変動するかを制御します。β はバックボーンで、プロセスが幾何ブラウン運動（β=1）と算術ブラウン運動（β=0）のどちらに近く振る舞うかを決めます。ρ はスポットの変動とボルの変動の相関です — スポットが下落するとボルは上昇するのか？（株式や暗号資産では、はい: ρ < 0 です。）
重要な洞察: ボルは単に未知なのではなく、ランダムであり、かつ原資産と相関しているのです。この一つのアイデアだけで、パラメータのサーフェス全体を必要とせずに現実的なスマイルが生まれます。
SABRは金利の世界で生まれました（Hagan、Kumar、Lesniewski、Woodward、2002年）。すべてのスワップションデスクが、クォートされた行使価格の間を補間するためにこれを使っています。理由はシンプルです: 満期ごとにパラメータは4つ、それぞれが観測可能なものに対応し、インプライド・ボラティリティの解析式が得られます。スマイルのためにモンテカルロは不要です。
β がバックボーンを制御する
指数 β は、瞬間的なボルがフォワードの水準に対してどのようにスケールするかを決めます。ボル・オブ・ボルや相関が登場する前に、原資産プロセスの性格を定めるものです。
β = 1（対数正規）: パーセント単位の変動幅が一定になります。BTCが60kなら1%の動きは$600、BTCが30kなら1%の動きは$300です。ドル建てのボラティリティは価格に比例します。これは古典的なGBMの仮定です。
β = 0（正規）: ドル建ての変動幅が一定になります。金利が2%でも5%でも、ベーシスポイントで測った日次標準偏差は同じです。金利市場でよく見られます。
β = 0.5（CIR的）: 折衷案です。ボルは価格の平方根に比例します。どちらの極端もぴったり当てはまらない暗号資産やFXで人気があります。
下のスライダーで β を動かして、3つの参照スマイルを観察してください。β=1では、スマイルは対数マネーネスで見て比較的対称です。β=0では、スキューのプロファイルが劇的に変わります。バックボーンは、スポットが動いたときにスマイルがどうシフトするかを決めます — これが β がスティッキー・ストライクとスティッキー・デルタの挙動に結びつく理由です。
実務では、β はフィットさせるのではなく固定されることが多いです。金利デスクは通常 β=0.5 または β=0 を使います。株式や暗号資産のデスクでは β=1 がよく使われます。理由: 単一満期のキャリブレーションでは、β を ρ から切り分けるのが難しいのです。β を固定し、残り3つのパラメータにスマイルを吸収させるのが標準的な実務です。
Haganの近似
SABRが金利トレーディングを席巻した理由: Haganらが、行使価格の関数としてBlack-Scholesインプライド・ボラティリティのクローズドフォーム近似を導出したからです。PDEを解く必要も、シミュレーションも不要 — 式ひとつだけです。
下の積み上げ棒グラフは、各行使価格のインプライド・ボラティリティを3つの加法的な寄与に分解しています。緑のベースはATMボル水準です（ρ=0 かつ ν=0 — 純粋なCEVで得られる値）。オレンジの層は ρ による一次のスキュー補正です。青い層は ν（ボル・オブ・ボル）によるコンベクシティ補正です。
アット・ザ・マネー (ATM) では、スキュー補正とコンベクシティ補正はほぼゼロで、ベースが支配的です。ウィングでは補正が大きくなります。スライダーを調整して、各パラメータが対応する層をどう制御するかを確認してください。
オレンジのスキューの棒の符号が反転する点に注目してください。片側では正、もう片側では負になります（ρ ≠ 0 のとき）。青いコンベクシティの棒はウィングでは常に正で、ディープなプットとディープなコールの両方にプレミアムを加えます。
ρ と ν がスマイルを形作る
ひとたび β と α がバックボーンと全体のボル水準を定めれば、スマイルの形状は2つのパラメータで制御されます: ρ（相関）がスマイルを傾け、ν（ボル・オブ・ボル）が曲げます。
ρ はスキューのダイヤルです。 ρ < 0 のとき、スポットの下落はボルの上昇を伴い、プットがコールより割高になります。ρ > 0 のときは逆で、コールのほうが割高です。ρ = 0 では、スマイルは対称です（β=1 の場合、または対数マネーネスで見た場合）。
ν は曲率のダイヤルです。 ボル・オブ・ボルが高いほどボル自体の変動が大きくなり、両ウィングが割高になります。スマイルは広がり、満期時分布の尖度が増します。ν = 0 では、スマイルは一切なく、純粋なCEVモデルに戻ります。
下の2つのパネルは、それぞれの効果を分離しています。左: ν を固定し、ρ を動かします。右: ρ を固定し、ν を動かします。破線は基準です（ρ=0 または ν=0）。
ν = 0.40: ボル・オブ・ボルが中程度：ウィングに目に見える曲率があります。
この分離は直感を養うには強力ですが、実務では完全ではありません。ρ と ν は完全には直交しておらず、一方を変えるとキャリブレーションにおけるもう一方の最適値がずれます。それでもメンタルモデルとしては有効です: ρ がスマイルを回転させ、ν が膨らませます。
キャリブレーションと落とし穴
SABRのキャリブレーションとは、モデルのスマイルが観測された市場のIVに一致するような（α, ρ, ν）を見つけることです — β は通常固定します。下で、合成した市場データに手動でモデルをフィットさせてみてください。
オレンジの丸は「市場」のインプライド・ボラティリティです。緑の曲線があなたのSABRモデルです。縦線は残差 — 各行使価格におけるモデルと市場の差 — を示します。スライダーをドラッグしてSSE（二乗誤差の和）を最小化してください。良いキャリブレーションでは、ATMだけでなくあらゆる箇所で残差がほぼゼロになります。
実務家がすぐに学ぶポイントをいくつか:
Hagan近似はウィングで破綻します。 ディープOTMのオプション（例えば2年物スワップションの10デルタのプット）では、Hagan公式はインプライド・ボラティリティが負になったり、非常識な水準まで跳ね上がったりすることがあります。これが悪名高い「ウィング爆発」問題です。解決策には、無裁定SABRの定式化（Hagan-Lesniewski-Woodward 2014）や厳密なPDEベースのアプローチがあります。
マイナス金利が標準モデルを壊しました。 標準モデルでは β > 0 のとき、フォワードFは正でなければなりません。金利がマイナスになったとき（EUR、JPY、CHF）、各デスクはシフトSABRに切り替えました: 実効フォワードが正になるようにシフトを加えた (F + shift) にモデルを適用します。
暗号資産では、β は通常 0.5 か 1.0 に固定されます。 暗号資産のボラティリティ・サーフェスは、極端なスキューとファットテールを持ちます。β=1（対数正規）が最も一般的な選択です（暗号資産の価格は負になり得ないため）。一部のデスクは、ウィングでのフィットを改善するために β=0.5 を使います。
SABRは満期ごとのモデルであり、サーフェスモデルではありません。 各満期がそれぞれ独自の（α, ρ, ν）のキャリブレーションを持ちます。これらのパラメータが満期をまたいでどう変化するかについて、モデルは何も語りません。期間構造の整合性のためには、追加の制約や別のフレームワーク（SSVIやローカル・確率的ボラティリティなど）が必要です。
次に読むべきもの:
SVIパラメータ化 — カレンダースプレッドの無裁定を保証するサーフェスレベルのモデル
ローカル・ボラティリティ — 補完的なアプローチ: すべてのバニラに正確に一致する決定論的なボル
補間手法 — すべてのスマイル/サーフェス手法の比較