ゼロから学ぶSANOS
1/5パラメトリックモデルには形状バイアスがあります
SVI、SABR、多項式フィットなど、あらゆるパラメトリックモデルは、まず数式のファミリーを選ぶことから始まります。そのファミリーによって、表現可能な形状が市場のクォートを1つも見る前に決まってしまいます。
SVIには5つのパラメータがあります。つまり、市場のスマイルに合わせるための自由度が5つあるということです。流動性が高く、素直な市場であれば、通常は5つで十分です。スマイルは滑らかでほぼ放物線状であり、SVIは見事にフィットします。
しかし市場は常に素直とは限りません。決算イベント、プロトコルのエクスプロイト、規制関連のヘッドライン — これらは特定の行使価格でインプライド・ボラティリティに局所的なバンプ（こぶ）を生じさせることがあります。5パラメータの曲線では、K=90 にバンプを作りつつ他の部分を平坦に保つことはできません。1つの局所的な特徴に対応するために、曲線全体を歪めなければならないのです。
SANOSは正反対のアプローチを取ります。数式のファミリーを選ぶ代わりに、グリッド上の各ノードに値を置き、サーフェスがどのような形状を取るかをデータに決めさせます。要件は、滑らかであること、裁定機会がないこと、観測されたビッド/アスクのクォートを尊重することだけです。
SVIは、曲がる定規テンプレートを点の集合に合わせるようなものです — 定規は曲がりますが、折れ目（キンク）を作ることはできません。SANOSは、柔軟なメッシュを点の上にかぶせるようなもので、各交点が独立に動けます。定規では捉えられない局所的な特徴を、メッシュなら捉えることができます。
グリッドが数式に取って代わります
SANOSでは、ボラティリティ・サーフェスはノードのグリッドで定義されます。（行使価格, 満期）の各交点に1つの値を持ちます。行使価格9本と満期5本なら自由変数は45個。行使価格20本と満期5本に拡張すれば100個になります。
各ノードはトータルバリアンス値（あるいは同等にインプライド・ボラティリティ）を保持します。ノード間のサーフェスは補間されます。パラメトリックモデルとの決定的な違いは、これらの値同士を結びつける数式が存在しないことです。各ノードは自由変数であり、無裁定条件と滑らかさによってのみ制約されます。
下のグリッドは、行使価格と満期にわたるインプライド・ボラティリティの値を示しています。K=90、T=0.25 付近の局所的なバンプに注目してください — これはパラメトリックモデルが見落とす種類の特徴です。右のパネルには選択した満期でのスマイルが表示され、比較のためにSVIのベストフィットが重ねて描かれています。
任意のセルをクリックしてボラティリティを調整してください。グリッドが局所的な構造を捉えた箇所で、SANOSのスマイル（緑）がSVI（黄色の破線）からどう乖離するか観察してみましょう。SVIはグローバルに滑らかであることを強いられますが、グリッドはデータを1点ずつ追従できます。
SANOS: N_K × N_T nodes → local flexibility
無裁定条件を線形制約として表現する
自由変数が100個あるなら、ガードレールが必要です。SANOSはそれを、グリッド値に対する線形不等式として表現された静的無裁定条件から得ています。
重要な制約は2つあります：
カレンダースプレッド制約。 トータルバリアンス（w = σ^2 × T）は、各行使価格について T に関して非減少でなければなりません。もし減少するなら、同一行使価格で期近のオプションを売って期先のオプションを買うことで、リスクなしに利益を得られてしまいます。グリッド上では、各列が上から下へ増加しなければならないことを意味します。
バタフライスプレッド制約。 コール価格は各満期において行使価格に関して凸でなければなりません。同等に、隣接する行使価格間のトータルバリアンスの2階差分が非負でなければなりません。これにより、物理的にあり得ない負の確率密度が防がれます。
どちらの制約もグリッド値について線形です。カレンダー: w(K, T_2) ≥ w(K, T_1) for T_2 > T_1. Butterfly: w(K-1, T) - 2·w(K, T) + w(K+1, T) ≥ 0. 非線形項もなく、複雑なカップリングもありません。線形ソルバーに渡せる不等式だけです。
これがグリッド上でトータルバリアンス空間を用いることの本質的な利点です。インプライド・ボラティリティでは非線形になる無裁定条件が、トータルバリアンスでは線形になります。サーフェス構築問題全体が線形計画法の範囲に収まるのです。
線形計画法が答えを見つけます
すべての要素を集めましょう。ノード値を未知数、ビッド/アスクの範囲をボックス制約、無裁定条件を線形不等式、滑らかさを目的関数とします。全体が1つの線形計画問題になります。
LPには決定的に重要な性質があります：局所最小値が存在しない。 実行可能領域は凸多面体であり、最適解は常に頂点にあります。SVIのキャリブレーション（非線形であり、初期値によっては局所最小値に陥る可能性がある）とは異なり、LPは常に大域最適解を見つけます。
ビッド/アスクのクォートはボックス制約を定義します。観測された各行使価格において、トータルバリアンスはビッドから逆算した値とアスクから逆算した値の間になければなりません。スプレッドが狭いほどボックスは小さくなります。スプレッドが広いほど、SANOSが滑らかで無裁定なサーフェスを見つけるための自由度が増します。
制約が追加されるにつれて実行可能領域（緑）が縮小する様子を観察してください。正値性、カレンダー、バタフライ、そしてビッド/アスク — それぞれがあり得ないサーフェスを切り落としていきます。LPの解（黄色の点）は最終的な多面体の頂点に位置します。その頂点は、すべてのデータと整合する最も滑らかな無裁定サーフェスであることが保証されています。
subject to: bid_i ≤ w_i ≤ ask_i (data)
w(K, T_2) ≥ w(K, T_1) (calendar)
w(K-1) - 2w(K) + w(K+1) ≥ 0 (butterfly)
SANOSが優れる場面と劣る場面
SANOSがあらゆる場面でパラメトリックモデルより優れているわけではありません。適した領域は明確に存在し、その仕組みを知ることよりも、いつ使うべきかを知ることのほうが重要です。
SANOSが優れる場面：
データが疎な場合。 クォートが5個しかないのにフルサーフェスが必要な場合、パラメータを特定するのに十分な点がないため、パラメトリックモデルは苦戦します。SANOSは疎なデータからでもサーフェスを構築できます。無裁定制約自体が情報を提供し、市場のクォートがなくても実行可能集合を絞り込むからです。
ビッド/アスクスプレッドが広い場合。 ミッド価格に対するパラメトリックフィットは、ビッド/アスクの外に出てしまう無裁定サーフェスを生成することがあります。SANOSはスプレッドをノイズではなく特徴として扱います。スプレッドが広いほど、滑らかで無裁定なサーフェスを見つける自由度が増します。
局所的な特徴がある場合。 イベント起因のボラティリティのバンプ、ポジションの集中によるキンク、特定の満期に固有の効果など、5パラメータの数式では表現できないあらゆる構造です。
スプレッドのスライダーを広げると、SANOSのフィット（緑）がミッド（オレンジの破線）から乖離していく様子が観察できます。どちらもビッド/アスクのバーを通過しますが、SANOSは余剰の自由度を使ってより滑らかさを保ちます。スプレッドが狭いときは、2つのフィットは収束します。
SANOSが劣る場面：
動的な解釈ができない。 SVIのパラメータ（a, b, rho, m, sigma）には経済的な意味があります：全体的な分散、スキューの大きさ、相関、変位です。SANOSのノードはグリッド上の単なる数値にすぎません。「スキューが0.02増加した」とは言えなくなり、「この20個のノードが動いた」としか言えないのです。
保存と伝達。 SVIサーフェスは満期ごとに5個の数値です — 保存も伝送も極めて容易です。SANOSのサーフェスは数百個のノード値です。データベース、キャッシュ、通信プロトコルにとって、この差は重要です。
実績の差。 SVIは20年以上使われてきました。SANOSはより新しい手法です。信頼性やチームの習熟度が重要な本番システムにおいて、これは無視できないコストです。
実務上のパターンは、フィッティングとプライシング（局所的な精度が重要な場面）にはSANOSを、保存と伝達（コンパクトさが重要な場面）にはSVIを使うことです。両者は互いに補完し合います。
次のステップ：
SVIパラメータ化 — SANOSが補完するよう設計されているパラメトリックモデル
SABRモデル — 動的な解釈を持つ確率的ボラティリティモデル
ゼロから学ぶローカル・ボラティリティ — ローカル・ボラティリティ・サーフェスをインプライド・ボラティリティから抽出する方法
補間手法 — 全手法の比較