SSVI (Surface SVI)

SSVIをゼロから学ぶインタラクティブなレッスン · SVIの基礎知識が前提です

情報

SSVIはSVIのサーフェスレベルへの拡張です。スライスごとのモデルに馴染みがない場合は、まずそちらから始めてください。サーフェス構築パイプライン全体については、サーフェスの構築方法を参照してください。

SSVI (Surface SVI) は、SVIスマイルモデルを個々の満期スライスからボラティリティ・サーフェス全体へと拡張します。主な利点は、構造的にカレンダー裁定の不在が保証されることです。スライスを個別にフィッティングし、その後で満期間の不整合を後から修正する必要は一切ありません。

SSVIが解決する問題

スライスごとのSVIでは、各満期を個別にフィッティングします。各スライスは内部的に整合的（バタフライ裁定なし）かもしれませんが、スライス同士が矛盾する可能性があります。具体的には、ある行使価格における総分散が、ある満期から次の満期にかけて減少し、カレンダー裁定を生み出すことがあります。

これを後から修正する（事後的な調整）のは脆弱です。1つのスライスを微調整すると、フィッティングが変化し、それが別の場所で新たな違反を生み出すかもしれません。SSVIはサーフェスを一括してモデル化することで、これを完全に回避します。

仕組み

SSVIは総分散を、対数マネーネス $k$ とATM総分散 $\theta_t$ の両方の関数として記述します。

要点：スライスごとに5つのパラメータをフィッティングする（5満期で25パラメータ）代わりに、SSVIはサーフェス全体を少数のグローバルパラメータとATM総分散カーブ $\theta_t$ でパラメータ化します。

各要素の役割

$\theta_t$（ATM総分散カーブ）：これは期間構造の背骨です。$t$ について増加していなければなりません（基本的な無裁定要件）。ATMオプション価格から直接観測できます。

$\rho$（スキュー）：スマイルの傾きを制御する単一のパラメータです。すべての満期で共有されます。これは簡略化です。実際にはスキューは満期とともに変化し得ますが、SSVIはこの柔軟性をカレンダー裁定不在の保証と引き換えにしています。

$\varphi(\theta_t)$（スマイル急峻さ関数）：各満期でスマイルがどれだけ広いかを制御します。$\theta_t$ が大きくなる（満期が長くなる）につれて、スマイルは通常フラットになります。$\varphi$ はこの減衰を符号化します。

$\varphi$ の一般的な選択

「べき乗則」の形が標準的です：

トレードオフ

SSVIはスライスごとのSVIよりも自由度が少ないです。これはその強みであると同時に限界でもあります。

	スライスごとのSVI	SSVI
パラメータ	満期ごとに5個（5スライスで25個）	グローバル3個 + ATMカーブ
カレンダー裁定	フィッティング後にチェックして修正する必要あり	構造的に不在
スライスごとのフィット品質	優秀（スライスごとに5つの自由パラメータ）	良好だが制約あり
スキューの変動	満期ごとに異なり得る	すべての満期で単一の $\rho$
使用場面	個別スライス分析、疎なデータ	サーフェス全体、本番プライシング

最大の制約：SSVIはすべての満期で単一の $\rho$ を使用します。実際には、短期のスキューは長期のスキューよりも急峻であることが多いです。SSVIは $\varphi$（満期ごとにウィングの急峻さを制御する）を通じてこれを部分的に扱いますが、スライスごとのSVIが捉えられるすべての変動を捉えることはできません。

ほとんどの暗号資産や株式のアプリケーションでは、このトレードオフには価値があります。カレンダー裁定不在の保証は、サーフェスのバグのクラス全体を排除します。

スマイルが時間とともにフラットになるとき

ターム・ストラクチャー

Backwardation: 近期IV > 遠期。イベントリスクが織り込まれた信号。

シェイプを切り替えてタームストラクチャーの変化を確認。バックワーデーションはしばしば今後のイベントを示唆。

SSVIは、長期のスマイルが短期のスマイルよりもフラットであるという観測を自然に捉えます。$\varphi(\theta_t)$ 関数は $\theta_t$ が大きくなるにつれて減衰し、これはスマイルの幅が満期とともに減少することを意味します。これは市場の挙動と一致します。近期のバイナリイベントは急峻なスマイルを生み出しますが、遠期のスマイルは多くの起こり得るシナリオを平均化してフラットになります。

SSVIのフィッティング

1. ATM分散カーブ $\theta_t$ を抽出する：市場データから抽出します。これは各満期でのATM IVを2乗し、時間を掛けたものにすぎません。
2. $\rho$、$\eta$、$\gamma$ をフィッティングする：SSVIと観測されたIVとの間の重み付き誤差を、すべての行使価格と満期で同時に最小化します。
3. 最適化中に制約を強制する：$\eta(1 + |\rho|) < 2$、$\gamma \in [0, 1]$、$\theta_t$ が増加している。

最適化は高速（3パラメータ）かつ堅牢です。事後的なカレンダー修正は不要です。

SSVI 対 スライスごとのSVI

スライスごとのSVIを使う場合：

• 一度に1つの満期だけを気にする
• スライスごとに最大のフィット品質が必要
• 疎なデータ（少数の満期）があり、柔軟性が欲しい
• カレンダー裁定のチェックを手動で処理する意思がある

SSVIを使う場合：

• 本番プライシングのためにサーフェス全体が必要
• カレンダー裁定の不在が譲れない
• コンパクトな表現（3パラメータ + ATMカーブ）が欲しい
• 複数の満期にわたって同時にプライシングしている

オープンソース実装

リポジトリ	検討すべき理由
SVI-Vol-Surface	SSVIサーフェスフィッティング
QuantLib	実験モジュール内のSSVI

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関連項目：

• SVIパラメータ化 - スライスごとのモデル
• ORC Wing (Jump-Wing) - トレーダーに優しいSVIの再パラメータ化
• 補間手法 - すべての手法の比較
• サーフェスの構築方法 - パイプライン全体