ゼロから学ぶSSVI
1/4SVIからSSVIへ
SVI は単一の満期におけるひとつのボラティリティ・スマイルをフィットします。5つのパラメータできれいな形状を捉え、それ自体はうまく機能します。しかし、ボラティリティ・サーフェスには多数の満期が積み重なっています。各スライスを独立にフィットすると問題が生じます。
各スライスを独自のSVIパラメータでフィットする場合、すべての行使価格で満期から次の満期へと総分散が増加することは何も保証されません。そうでない場合、あなたは カレンダー・スプレッド・アービトラージ ――短い満期のオプションを売り、長い満期のオプションを買うことで、タダで利益が得られる取引です。
SSVIは、サーフェス全体を単一のパラメータ化で構築することでこの問題を解決します。スライスごとに5つのパラメータを使う代わりに、サーフェス全体は次で決まります:
スライスごとのSVIは、建物の各フロアに別々の建築家を付けるようなものです。各フロア単体は立派でも、フロア間の階段がつながらないかもしれません。SSVIは建物全体にひとりの建築家を雇います――各フロアのカスタマイズ性はやや落ちますが、すべてがつながります。
SSVIのパラメータ化
1つの式。3つのコントロール。下のスライダーを動かして、スマイルが形を変える様子を見てみましょう。
各パラメータを動かして、それぞれが何を制御しているのか直感をつかみましょう:
θ は全体の水準をシフトします。ATM分散が高いほど、スマイル全体が上に移動します。 ρ はスマイルを傾けます。負の ρ は、トレーダーが想定するプットスキューを生み出します。 φ はウィングの広がりを制御します。
カレンダー・スプレッド・アービトラージ
SSVIの核心は、構造上カレンダー・アービトラージが存在しないことです。ただしそれは φ が正しく選ばれている場合に限ります。
カレンダー・スプレッド・アービトラージとは、ある行使価格における総分散が、短い満期から長い満期にかけて 減少 することを意味します。公正な市場ではこれは起こり得ません――タダで利益が得られてしまうからです。
以下では、 悪い 選び方の φ (定数で満期を無視)と、 良い べき乗則型を比較してみましょう。左パネルのスライダーをドラッグして、違反インジケーターを見てください。
定数の φ は、どの満期でもスマイルの傾きを同じに保ちます。 θ が大きくなると、急なスマイルによってウィングの総分散が、短い満期では本来より高く、長い満期では十分に高くならず――交差が生じます。
べき乗則の φ は θ が大きくなるにつれて減衰し、長い満期のスマイルを自然に平坦化します。これにより w(k, θ) が、すべての k において θ について単調増加することが保証されます。
べき乗則型
2つのパラメータでサーフェス全体を制御できます。これが、SSVIが課すすべての制約に対する見返りです。
下のスライダーを動かして、ヒートマップの変化を見てください。x軸は対数マネーネス、y軸は満期、色はインプライド・ボラティリティです。
η はスマイルの振幅を全体的にスケールします。大きくすると、すべての満期でウィングが広がります。 γ はスマイルが満期とともに平坦化する速さを変えます。低い γ では長期のスマイルが急なままで、高い γ では急速に平坦化します。
3つのパラメータ (ρ, η, γ) と、観測される ATM 分散カーブ θ(t). これでサーフェス全体が決まります。スライスごとのSVIでは5枚のスライスに25以上のパラメータが必要になるのと比べてみてください。