ゼロから学ぶ確率的ローカル・ボラティリティ
1/5ローカルボラティリティは価格を正しく捉えるが、ダイナミクスを誤る
Dupireのローカルボラティリティモデルは驚くべきことをします：市場のすべてのバニラオプション価格に、同時に完璧にキャリブレートします。キャリブレーション誤差はゼロです。落とし穴は、その次に何が起こるかです。
ローカルボラティリティは、一意のボラティリティ σ(S, t) をあらゆるスポット水準とあらゆる時点に割り当てます。観測されるバニラ価格のサーフェスが与えられれば、それらすべてを再現するローカルボラティリティ関数はちょうど 1 つ存在します。この構成は決定論的です -- 最適化も残差誤差もありません。
では何が問題なのでしょうか? ダイナミクスです。ローカルボラティリティはスポットが動いたときのスマイルの変化を予測しますが、その予測は大きく外れます。
スポットが 5% 下落すると、ローカルボラティリティはスマイルの左ウィングが フラット化すると予測します。モデルはより低いスポットを読み取り、σloc の別のスライスを参照しますが、そこはたまたまよりフラットになっています。しかし実際の市場では逆のことが起こります。5% の急落では、スマイルはスティープ化 します。実現ボラティリティが上昇し、下値プロテクションへの需要が高まっているためです。
ローカルボラティリティは、今日のスマイルの完璧な写真です。しかし写真は動きません。スポットが移動すると、ローカルボラティリティは同じ静的なテーブルの別の列を参照して新しいスマイルを予測します。一方、市場はテーブル全体を再価格付けしています。
これはエキゾチックにとって重要です。バリアオプションの価値は、スポットがバリア付近にあるときのスマイルの形状に依存します -- 今日の形状だけではありません。モデルが将来のスマイルを誤って予測すれば、バリアの価格付けもヘッジも誤ります。
確率的ボラティリティはダイナミクスを正しく捉えるが、価格を誤る
Heston、SABR、そしてそれらの類似モデルは、ボラティリティを独自の確率プロセスを持つ確率変数として扱います。これは現実的なスマイルの発展を生み出します：スポットが下落するとボラティリティが上昇し、スマイルが急峻になります。しかし今日のバニラ価格へのフィットは、せいぜい近似的です。
Heston のようなモデルには 5 つの自由パラメータがあります。5 つの数値で、すべての行使価格と満期にわたる数百の観測オプション価格を同時に一致させることはできません。フィットは常に妥協です -- ATM 付近ではまずまずですが、ウィングに向かうほど悪化します。
パラメータを増やすこと(ダブル Heston、ジャンプ付き Bates)もできますが、ギャップが完全に埋まることはありません。常にキャリブレーションの残差が残ります。バニラのプライシングやマーケットメイクにとって、その残差は取り逃した利益です。
上の 3 つのパネルがその物語を示しています。スポットが 5% 下落した後:
ローカルボラティリティはスマイルがフラット化すると予測します -- 誤りです。
確率的ボラティリティ はスマイルが急峻になると予測します -- 正しいですが、そもそも今日のスマイルに完璧に一致していなかったことに注意してください。
SLV は両方を実現します。今日の完全なフィットから出発し、現実的に変化していきます。
バニラをクォートするならローカルボラティリティが有利です -- 正確に価格付けできるからです。スポットが動いたときのブックの挙動を重視するなら確率的ボラティリティが有利です -- 現実的なグリークスを予測するからです。エキゾチックのプライシングには両方が必要です。そこで SLV の出番となります。
SLV は両者を組み合わせる
確率的ローカルボラティリティは 2 つのエンジンを並行して動かします。ローカルボラティリティ成分がキャリブレーションを担い、確率的成分が現実的なダイナミクスを加えます。ミキシング比率 α がその配合を制御します。
Second line: L はボラティリティのボラティリティ ν に駆動される独自の拡散に従います。
Special cases: ν = 0 のとき、L は決定論的となり、純粋な局所ボラティリティに戻ります。 σloc が一定のとき、純粋な確率ボラティリティに戻ります。ミキシング比 α は、全分散のうちどれだけが各コンポーネントから来るかを制御します。
直感的な理解: σloc(S, t) は、すでに市場にキャリブレートされている Dupire 関数です。確率的な L を掛けても、摂動が平均的に相殺されるように L がキャリブレートされている限り、キャリブレーションを壊すことなくダイナミクスを変化させられます。この L のキャリブレーションこそが、レバレッジ関数の役割です。
ミキシング比 α （多くの場合ボラティリティのボラティリティのパラメータに埋め込まれています）は、どれだけのランダム性が L に入り、どれだけが σloc に残るかを決定します。一方の極端（α = 0）では、すべての分散が局所ボラティリティで説明され、スマイルのダイナミクスは決定論的です。もう一方の極端（α = 1）では、局所ボラティリティはフラットとなり、確率過程がすべてを駆動します。
上のスライダーをドラッグして、予測される将来のスマイルを観察してください:
α = 0（純粋な局所ボラティリティ）： 将来のスマイルは今日に対してほとんど動きません。左ウィングがわずかにフラット化します。これがローカルボラティリティの病理です。
α = 1（純粋な確率ボラティリティ）： 将来のスマイルは劇的にスティープ化します。ボラティリティが全体的に跳ね上がります。現実的ですが、過剰補正となる可能性があります。
α = 0.5（バランス型）： 中間的な結果です。スマイルはスティープ化しますが、その度合いは穏やかです。実務のキャリブレーションの多くはこのあたりに落ち着きます。
レバレッジ関数
L(S, t) はキャリブレーションの接着剤です。すべての確率的パスにわたって平均した期待ローカルボラティリティが市場に一致するように計算されます。ミキシングがバランスしているとき、L はどこでも 1 に近くとどまります。一方の成分が支配的なとき、L はより大きく働かなければなりません。
形式的には、L(S, t) は次の条件で定義されます:
実務では、L はフォワード PDE(Fokker-Planck)またはパーティクル法(密度推定付きモンテカルロ)を用いて数値的に計算されます。フォワード PDE は (S, L) の同時密度を時間方向に前進させ、各グリッド点で L を抽出します。パーティクル法は多数のパスをシミュレートし、スポット水準ごとにビンに分け、各ビン内で L を求めます。
重要な洞察：α が 0.5 付近のとき、両方のコンポーネントが負荷を均等に分担するため、L はどこでも 1 に近くなります。 α が 0 または 1 に近いとき、L は構造を発達させます――ウィングでピーク、ATM 付近で谷――なぜなら一方のコンポーネントがほぼすべての仕事をしており、L がそれを補償しなければならないからです。
上のヒートマップは、スポットと時間にわたる L(S, t) を示しています。ミキシングのスライダーをドラッグして観察してください:
バランス型（α ≈ 0.5): 一様な暗い色。L はどこでもほぼ 1 です。両成分が均等に寄与しています。これが理想的な動作点です。
局所ボラティリティ優位（α ≈ 0): ウィングに暖色(オレンジ/赤)の領域が現れます。確率的成分自身の分散が小さいため、市場に一致させるには L が大きく働かなければなりません。
確率ボラティリティ優位（α ≈ 1): 寒色(青)の領域が現れます。一部の領域で確率的成分が行き過ぎるため、L がそれを引き戻さなければなりません。
エキゾチック・プライシングの標準
SLV は、大手銀行がバリア、アジアン、クリケットのために実際に運用しているモデルです。バニラへのキャリブレーションと妥当なエキゾチック価格の算出を同時に実現できる唯一のモデルであるため、実務の標準となっています。
バリア。ノックアウトオプションは、スポットがバリアに達すると消滅します。その価値は、バリア水準付近でのスマイルの形状に決定的に依存します。ローカルボラティリティはそこで誤ったスマイルを与えます。確率的ボラティリティはダイナミクスは正しいものの、初期価格が誤っています。SLV は両方を捉えます -- その結果のバリア価格は、ローカルボラティリティと想定元本の数 % も異なることがあります。
アジアン。アジアンオプションは一定期間のスポットを平均します。平均化によってスマイルダイナミクスの影響が減衰するため、SLV とローカルボラティリティの差はここでは小さくなります。しかしゼロではなく、大きな想定元本を取引するデスクにとっては重要です。
クリケット。 定期的にリセットされるフォワードスターティング・オプションです。これらはフォワードスマイル -- 各リセット日にスマイルがどう見えるか -- に極めて敏感です。クリケットは本質的にスマイルのダイナミクスへの賭けであるため、SLVの利点はここで最大になります。
SLV は無償ではありません。確率的ボラティリティのパラメータが変わるたびにレバレッジ関数を再計算する必要があるため、キャリブレーションは反復プロセスになります。確率的ボラティリティのパラメータをフィットし、L を計算し、バニラのフィットを確認し、調整し、繰り返す。この外側のループは計算コストが高く、次のパラメータの選択にモデルリスクをもたらします: α.
ミキシング比の選択自体が判断を要する問題です。異なる α の値は、同じバニラに一致させつつ、異なるエキゾチック価格を生み出します。銀行は通常、流動性のあるエキゾチック取引（例えば FX のバリアリバーサル）へのキャリブレーションによって、あるいはスマイルのダイナミクスが自らのブックにとってどれだけ重要かについての専門的判断によって、α を設定します。
モデルリスク。ミキシング比率は、実務のエキゾチック・プライシングにおいて最も重要なモデルリスク・パラメータです。SLV を用いる 2 つのデスクが異なる α の値を採用すると、すべてのバニラでは一致する一方、バリアでは一致しません。これはバグではなく、スマイルがどう変化するかについての本質的な不確実性を反映しています。
クリプトでは: エキゾチック市場が小さく、バニラのサーフェス自体にノイズが多いため、SLV はあまり一般的ではありません。多くのクリプトデスクは、サーフェスのフィッティングに SVI または SSVI を用い、パス依存商品にはローカルボラティリティや直接シミュレーションを使用します。クリプトオプション市場が成熟するにつれ、SLV の重要性は高まっていくでしょう。
次に読むべきページ:
Local Volatility -- Dupire モデルの詳細
Heston Model -- SLV 内部で最も一般的な確率的ボラティリティのエンジン
SABR Model -- 平均回帰のない確率的ボラティリティ。金利分野で人気
Vanna-Volga -- 3 つの市場クォートから構築するより簡易なスマイル