確率的ボラティリティモデル
ボラティリティは変動します。暴落時に急騰し、静穏期に圧縮され、時間とともに平均回帰します。確率的ボラティリティモデルは、ボラティリティ自体を価格とともに変化するランダムなプロセスとして扱います。
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ランダムなボラティリティがスマイルを生む
Black-Scholes はボラティリティが一定であると仮定します — スマイルは存在しません。ボラティリティがランダムになった瞬間、スマイルが現れます。このセクションのすべてのモデルは、ボラティリティがどのように動くかについて異なる仮定を置きながら、それを実現しています。
ファミリーツリー
共通点
すべての確率的ボラティリティモデルは同じ基本構造を持っています。価格プロセスにはランダムなボラティリティ成分があり、そのボラティリティ成分は独自の確率過程に従います。違いは、そのボラティリティプロセスがどのような形をしているかにあります:
モデルの選び方
- 現在のスマイルをフィットさせたいだけ? → 確率的ボラティリティモデルではなく、おそらく SVI が必要です。
- スマイルの動きを予測したい? → SABR が標準です。
- 期間構造全体にわたってエキゾチックをプライシングする? → Bates または SLV。
- 本番用のエキゾチックプライサーを構築する? → ほとんどのデスクが運用しているのは Stochastic Local Vol(ハイブリッド)です。
- 短期スキューが急である理由を理解したい? → Rough Bergomi。
- 基礎を学びたい? → Heston から始めましょう。他のすべてのモデルはこれを土台にしています。
モデル同士の関係
Heston が基礎です。Bates は Heston にジャンプを追加します。SABR は別の道を進みます — 平均回帰はありませんが、ボラティリティを価格水準に結びつけるバックボーンを持ちます。ZABR は SABR のバックボーンを一般化します。Rough Bergomi はボラティリティプロセス全体を、よりラフで経験的に裏付けられたものに置き換えますが、本番用途には遅すぎます。
暗号資産においては、スマイルのダイナミクスの理解と SVI フィットの初期化のために SABR が最も重要です。ジャンプを必要とするエキゾチックデスクには Bates が重要です。Heston と Rough Bergomi は概念的なモデルであり、スマイルがなぜそのような形になるのかを説明します。
このセクションのモデル:
- Heston モデル — オリジナルの確率的ボラティリティモデル
- Bates モデル — ギャップリスクに対応する Heston + ジャンプ
- SABR モデル — 金利と FX 向けの動的スマイルモデル
- ZABR モデル — 柔軟なバックボーンを持つ SABR
- Rough Bergomi — ラフ・ボラティリティ(理論的フロンティア)