SVIパラメータ化

情報

このページではSVIモデルを詳しく解説します。ボラティリティ・サーフェスのパイプラインにおける位置づけについては、サーフェスの構築方法をご覧ください。他の手法との比較については、補間手法をご覧ください。

SVI（Stochastic Volatility Inspired） は、暗号資産および株式オプションのボラティリティ・スマイルをフィッティングするための業界標準です。5つのパラメータを使用して、単一の満期におけるスマイルの形状を記述します。この名前は、その関数形が単純化された確率的ボラティリティモデルから導出できることに由来しています。

パラメータを探索する

以下の各パラメータを調整して、スマイルがどのように変化するかを確認してください。プリセットを使用すると、一般的な構成の間を切り替えられます。

SVIパラメータ・エクスプローラー

株式・暗号資産に典型的なスマイルです。プットウィングが高くなっています。

a（水準）0.040

スマイル全体を上下にシフトします

b（傾き）0.250

ウィングの急峻さを決めます

ρ（スキュー）-0.40

負 = プットスキュー、正 = コールスキュー

m（シフト）0.00

スマイルの最小点の位置を決めます

σ（曲率）0.200

小さい = 鋭いV字、大きい = 滑らかなU字

ATM IV

104.6%

プットウィングの傾き

0.350

コールウィングの傾き

0.150

各パラメータの役割

• a（レベル）: スマイル全体を上下にシフトします。$a$ が高いほど全体的なIVが高くなります。「ベースライン」の分散と考えてください。
• b（傾き）: ウィングの急峻さを制御します。$b$ が高いほどウィングが急になり、OTMオプションが高価になります。
• $\rho$（スキュー）: スマイルを傾けます。負の $\rho$ = プット・スキュー（通常）。正の $\rho$ = コール・スキュー（まれ）。ゼロ = 対称。
• m（シフト）: スマイルの最小点を左右に移動します。通常はゼロ付近です（最小点はATM）。
• $\sigma$（曲率）: スマイルの底の丸みを制御します。$\sigma$ が小さいと鋭いV字型、$\sigma$ が大きいと滑らかなU字型になります。

ウィングの挙動

ATMから大きく離れると、スマイルは直線に近づきます。その傾きは以下の通りです。

• プット・ウィング（左側）: 傾き = $b(1 - \rho)$
• コール・ウィング（右側）: 傾き = $b(1 + \rho)$

典型的なプット・スキュー（$\rho < 0$）の場合、プット・ウィングはコール・ウィングよりも急になります。この有界で線形なウィングの挙動は、SVIの主要な利点の一つです。決して不合理な値へ外挿することがありません。

市場データへのフィッティング

（単一の満期における）異なる行使価格での観測IV値のセットが与えられると、SVIはそれらを最もよく再現する5つのパラメータを見つけます。

プロセス:

1. 対象満期のすべてのIV観測値を収集します（通常5〜15データポイント）。
2. 各値をトータル・バリアンスに変換します（観測IVの2乗に満期までの時間を掛ける）。
3. 加重最小二乗法オプティマイザーを実行し、SVI曲線と観測値のギャップを最小化するパラメータを見つけます。
4. 信頼度で重み付けします。ATMオプションには大きな重み（流動性が高い）、タイトなビッド/アスク・スプレッドには大きな重み（信頼性が高い）、ディープOTMには小さな重みを与えます。
5. 最適化中にアービトラージ制約を適用します（後述）。

速度: 単一の満期のフィッティングは10ミリ秒未満で完了します。サーフェス全体（すべての満期）は、クォートが更新されるとリアルタイムで再構築されます。

アービトラージ制約

SVIはアービトラージを防ぐように制約を課すことができます。これらの制約はパラメータに対する単純な不等式です。

バタフライ制約（負の局所分散の禁止）:

スマイルは、どのバタフライ・スプレッドも無リスクの利益にならない程度に凸である必要があります。これには以下が必要です。

$b(1 + |\rho|) \leq \frac{4}{T}$

最小点での非負分散:

スマイルの最小値はゼロより上でなければなりません。

$a + b\sigma\sqrt{1 - \rho^2} \geq 0$

カレンダー制約（満期間）:

トータル・バリアンスは、すべての行使価格において満期とともに増加しなければなりません。これは、連続する満期スライス間のすべての $k$ について $w_1(k) \leq w_2(k)$ をチェックすることで適用されます。

バリアント

SVIには2つの重要なバリアントがあり、それぞれ専用ページがあります。

ORC Wing（Jump-Wing） は、トレーダーにとって扱いやすい量を使ってSVIを再パラメータ化します。すなわち、ATM分散、ATMスキュー、プット・ウィングの傾き、コール・ウィングの傾き、最小分散です。同じスマイルを異なるつまみで操作します。スマイルを手動で編集する際に便利です。

SSVI（Surface SVI） は、SVIをサーフェス全体に拡張し、構造上カレンダー・アービトラージが存在しないことを保証します。各満期を独立にフィッティングする代わりに、SSVIは共有スキュー・パラメータとスマイル急峻度関数を通じてそれらを連結します。自由度は少なくなりますが、満期間の修正は不要です。

数式エクスプローラー

SVIはトータル・バリアンスと対数マネーネスで動作します。IV、トータル・バリアンス、行使価格の表現間で変換するには、こちらを使用してください。

数式エクスプローラー

k = ln(K / F)対数マネーネス = ln(行使価格 / フォワード価格)

行使価格 (K)

$

オプションの行使価格

フォワード (F)

$

フォワード価格（短期では ≈ スポット）

対数マネーネス (k)

-0.0513

マネーネス (K/F)

0.9500

種類

-5.0% OTMプット

対数マネーネスは、SVIやほとんどのパラメトリックモデルで使われるx軸です。k = 0 はATM、負の k はOTMプット側、正の k はOTMコール側です。

なぜSVIなのか？

• 5つのパラメータで、観測されるほぼすべてのスマイルをフィッティングできます。スプラインよりもパラメータ数が少なく、3パラメータのモデルよりも柔軟です。
• 有界なウィングにより、外挿の暴走を防ぎます。SVIができる最悪のことは、有限の傾きへの外挿だけです。
• 単純な制約により、バタフライ・アービトラージが存在しないことが保証されます。わずか2つの不等式です。
• 高速なフィッティングにより、市場の動きに合わせてサーフェスをリアルタイムで更新できます。
• 業界標準として、暗号資産（Deribit、Hypercall）およびほとんどの株式ボラティリティ・デスクで採用されています。

数学的直感を養う

SVIをゼロから学ぶインタラクティブレッスン · 全5セクション · 前提知識不要

上記のインタラクティブなレッスンでは、SVIを第一原理から解説しています。SVIが何をパラメータ化するのかとその理由、5つのパラメータそれぞれの単独での挙動、分散からボラティリティへの変換、無裁定制約、そして市場データへの実践的なキャリブレーションを扱います。

オープンソース実装

リポジトリ	確認する価値がある理由
SVI-Vol-Surface	可視化機能付きのPython SVIキャリブレーション
QuantLib	C++によるSVIパラメータ化

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SVIバリアント: ORC Wing（Jump-Wing） | SSVI（Surface SVI）

関連ページ: サーフェスの構築方法 | 補間手法 | SABRモデル | スキュー