ゼロから学ぶSVI

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セクション 1

SVIとは？

SVIはStochastic Volatility Inspiredの略です。単一の満期におけるボラティリティ・スマイルの形状を記述する5パラメータの数式です。

ほとんどのスマイルモデルはインプライド・ボラティリティの空間で扱います。SVIは異なり、総インプライド分散を対数マネーネスの関数としてパラメータ化します。遠回りに聞こえるかもしれませんが、これにより裁定制約が驚くほど単純になります。

数式は次のとおりです。

SVI総分散

w(k) = a + b(ρ(k − m) + √((k − m)² + σ²))

w(k) is total implied variance = σ_imp² · T. k = ln(K/F) is log-moneyness. Five parameters: a, b, ρ, m, σ.

下のスライダーを動かして、総分散カーブがどう変化するかを確認してください。x軸は対数マネーネス（負 = OTMプット、正 = OTMコール）、y軸は総インプライド分散です。

総分散 w(k)

a (level)0.040

Overall variance level — shifts the entire curve up or down

b (angle)0.250

Wing steepness — higher b means steeper wings

ρ (rotation)-0.40

Skew direction — negative = put skew, positive = call skew

m (translation)0.00

Horizontal shift of the smile minimum

σ (smoothing)0.200

Roundness at ATM — small = sharp V, large = smooth U

なぜ「総分散」なのか？

Black-Scholesはインプライド・ボラティリティ（σ_imp）を使います。しかしボラティリティはスマイルの形状と満期までの時間の両方に依存します。総分散 w = σ_imp² · T は時間の要素を切り離し、満期とともに単調に増加する量を残します。この単調性こそが、カレンダー裁定の排除に必要なものです。

セクション 2

5つのパラメータ

各パラメータはスマイルの幾何学的な側面を1つずつ制御します。1つずつクリックして、何が変化するかを観察してください。

破線はベースライン（典型的なプット・スキューのスマイル）です。色付きの実線は、ハイライトされたパラメータを動かしたときの変化を示します。他のパラメータは固定されたままです。

a -- overall variance level

Shifts the entire curve up or down uniformly. Higher a means higher implied volatility everywhere. Think of it as a baseline variance that applies to all strikes.

a (level)0.040

デフォルト: 0.040破線 = ベースライン

ウィングの挙動: ATMから離れると、スマイルは直線に漸近します。プット側ウィングの傾きは b(1 − ρ)、コール側ウィングの傾きは b(1 + ρ) です。典型的なプット・スキュー（ρ < 0）では、左側のウィングの方が急になります。

漸近的な傾き

Put wing: b(1 − ρ)     Call wing: b(1 + ρ)

この有界で線形なウィングはSVIの主要な利点の1つです。スマイルが非現実的な値に外挿されることはありません。

セクション 3

分散からボラティリティへ

SVIは総分散 w(k) を与えます。おなじみのIVスマイルは、平方根を1回とるだけで得られます。

分散からIVへ

σ_BS(k) = √(w(k) / T)

総分散を満期までの時間で割り、平方根をとります。これで各行使価格におけるインプライド・ボラティリティが得られます。

以下の2つの曲線は同じSVIパラメータから生成されています。左パネルは総分散（SVIが機能する空間）、右パネルはインプライド・ボラティリティのスマイル（トレーダーが考える空間）です。スライダーを動かすと、両方が同時に更新されます。

総分散 w(k)

インプライド・ボラティリティ (%)

a (level)0.040

Overall variance level — shifts the entire curve up or down

b (angle)0.250

Wing steepness — higher b means steeper wings

ρ (rotation)-0.40

Skew direction — negative = put skew, positive = call skew

m (translation)0.00

Horizontal shift of the smile minimum

σ (smoothing)0.200

Roundness at ATM — small = sharp V, large = smooth U

分散カーブはボラティリティカーブよりも滑らかで「V字型」に近いことに注目してください。平方根は大きな値を圧縮し小さな値を引き伸ばすため、ボラティリティ・スマイルはより丸みを帯びて見えます。

実務上の重要性: SVIをフィットする際は分散空間（数式が定義される空間）で最適化しますが、フィットの品質はIV残差（トレーダーが気配を提示する空間）で評価します。

セクション 4

無裁定制約

すべてのSVIパラメータの組み合わせが有効なわけではありません。無裁定条件に違反するスマイルを生む組み合わせもあります。下のウィジェットで境界を探してみてください。

重要な制約は3つあります。いずれかに違反すると、リスクフリーの利益機会が存在することになり、そのスマイルは市場の真のリスク価格ではあり得ません。

バタフライ制約

b(1 + |ρ|) ≤ 4/T

局所分散が負になるのを防ぎます。これが破れると、バタフライ・スプレッドのコストが負になります — フリーマネーです。

最小値の非負性

a + bσ√(1 − ρ²) ≥ 0

スマイルの最小値はゼロ以上でなければなりません。負の総分散は物理的にあり得ません。

Roger Leeのモーメント公式

b(1 + |ρ|) ≤ 2

ウィングの増加速度に上限を設けます。実務では、期近のオプションに対してはバタフライ制約の方が拘束的です。

下のプリセットを試し、スライダーを動かして境界を確認してください。いずれかの制約に違反するとカーブが赤くなります。

Butterfly: b(1+|ρ|) = 0.260 ≤ 48.7Min variance: 0.0782 ≥ 0Lee moment: b(1+|ρ|) = 0.260 ≤ 2

アービトラージなし — このスマイルは安全です

a (level)0.040

b (angle)0.200

ρ (rotation)-0.30

m (translation)0.00

σ (smoothing)0.200

セクション 5

キャリブレーション

市場で観測されたインプライド・ボラティリティが与えられたとき、それを最もよく再現する5つのSVIパラメータを見つけます。手動で試してみてください。

オレンジの丸は合成的な市場気配で、満期まで30日（30 DTE）の現実的なBTCスマイルです。緑のカーブがSVIフィットです。縦線は各点の残差（誤差）を示します。

スライダーを調整してRMSEを最小化してください。「ベストフィットを表示」を押すと、ほぼ最適なパラメータセットが表示されます。

RMSE44.82%(不良)

SVIフィット市場データ残差

a (level)0.040

b (angle)0.150

ρ (rotation)-0.10

m (translation)0.00

σ (smoothing)0.250

実務では: 数値最適化アルゴリズム（Levenberg-MarquardtまたはSLSQP）が、満期ごとに10 ms未満でこれを実行します。最適化では、セクション4の裁定制約を満たしながら、残差二乗の加重和を最小化します。

初期値が重要: 初期推定値が悪いと、最適化が局所最小値に陥ることがあります。一般的な方法: a はATM分散から、b は観測されたウィングの傾きから設定し、ρ ≈ −0.3、m ≈ 0、σ ≈ 0.1 とします。

次に読むべきページ:

SVIリファレンスページ — パラメータ一覧、フィッティングの詳細、バリエーション

ORC Wing（Jump-Wing） — トレーダー向けに再パラメータ化されたSVI

SSVI — SVIをサーフェス全体に拡張