バリアンス・ガンマ

バリアンス・ガンマ（VG）：拡散が一切ありません。価格はジャンプの間を滑らかに動くことはありません -- すべての動きがジャンプです。ジャンプはランダムクロック上で発生します。時間は活動が高いときには速く進み、静かな期間には遅く進みます。このランダムクロックにより、マートンのような「ジャンプサイズ分布」を必要とせずにファットテールが生じます。結果として得られるボラティリティ・サーフェスは、実際の市場のスキューと尖度を同時に一致させることができます。

3つのパラメータがすべてを制御します：ボラティリティ（シグマ）、スキュー（シータ）、尖度（ニュー）。

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ランダムクロックの考え方

市場には、ランダムな速度で動く独自の内部クロックがあります。忙しい日：クロックは速く刻み、価格は大きく動きます。静かな日：クロックはほとんど動きません。VG = ランダムクロック上のブラック・ショールズです。クラッシュやジャンプサイズについての仮定を一切必要とせず、ファットテールと自然なスマイルが導かれます。

パラメータを探る

まず「Thin tails（薄いテール）」を試して、ブラック・ショールズに近い状態を確認してください。次にニュー（尖度）を上げて、ウィングが持ち上がる様子を見てください。

バリアンス・ガンマ・スマイル・エクスプローラー

負のスキューとファットテールの組み合わせです。典型的なクリプトのスマイル：プット側の翼が急で、コール側の翼も高くなります。

ボラティリティ0.45

全体のボラティリティ水準。高いほど＝すべてが割高になります。

θ（スキュー）-0.15

負＝プット・スキュー。スマイルのどちら側が急になるかを決めます。

ν（尖度）0.30

テールの厚さを制御します。高いほど＝より極端な変動、より急な翼になります。

「薄いテール」でほぼフラットなブラック・ショールズを確認し、次に ν を上げて過剰尖度によって両翼が持ち上がる様子をご覧ください。

各パラメータの役割

• シグマ（ボラティリティ）： クロックが通常の速度で刻むときのベースラインのボラティリティ。これは全体的な水準であり、ATMボラティリティのようなものです。
• シータ（スキュー）： 過程のドリフト。負のシータは、市場が所定の時間ステップで上昇よりも下落する傾向があることを意味します。これによりプットスキューが生じます -- 左のウィングが右よりも急になります。
• ニュー（尖度）： クロックがどれだけ「ランダム」であるかを制御します。低いニュー = クロックが安定して刻む（薄いテール、ブラック・ショールズに近い）。高いニュー = クロックが非常に不規則（ファットテール、急なウィング）。OTMオプションは大幅に高価になります。

パラメータ

制御対象

スマイルへの効果

σ (シグマ)

ボラティリティ水準

スマイル全体を上下にシフト

θ (シータ)

スキュー / 非対称性

負 = 急なプットウィング。ゼロ = 対称。

ν (ニュー)

テールの太さ

高い = 両方のウィングが持ち上がる。ゼロ = 過剰尖度なし（ブラック・ショールズ）。

なぜ純粋ジャンプなのか？

ブラック・ショールズ、さらにはマートンでさえ、連続的な拡散成分を仮定しています -- 価格はほとんどの時間滑らかに動き、時折ジャンプします。VGはこう言います：おそらくすべての価格変動は不連続です。ティックレベルでは、価格はある水準から次の水準へとジャンプします。取引と取引の間に滑らかな経路はありません。デルタヘッジは構造上不完全です -- ペイオフを連続的に複製することはできません。

これは、暗号資産市場が実際にどのように機能するかをよく表しています -- 特に、オーダーブックが薄く、価格がある水準から別の水準へギャップする低流動性ペアではそうです。

ℹ️

3つのパラメータ、3つのモーメント

VGは、各パラメータがリターンの統計的性質に直接マッピングされるため、エレガントです。シグマは分散（2次モーメント）、シータは歪度（3次モーメント）、ニューは過剰尖度（4次モーメント）を制御します。冗長性もなく、パラメータの相関に悩まされることもありません。

VG対その他のモデル

バリアンス・ガンマ

マートン

ブラック・ショールズ

価格経路

純粋ジャンプ（ランダムクロック）

拡散 + 時折のジャンプ

滑らかな拡散のみ

テールの挙動

クロックのランダム性によるファットテール

離散的なジャンプによるファットテール

薄い（ガウス）テール

パラメータ

3個（シグマ、シータ、ニュー）

4個（シグマ、ラムダ、mu_J、sigma_J）

1個（シグマ）

スマイルの形状

滑らか、3つのノブで制御

短期は急、長期はフェード

平坦（スマイルなし）

最適な用途

一般的なスマイルフィッティング、薄い流動性

イベントリスク、短期オプション

手早く大まかに、流動性のある市場

実務におけるVG

VGは、従来のデスクではヘストンやSABRほど一般的ではありませんが、暗号資産とクレジットでニッチな地位を持っています：

ユースケース

なぜVGか

非流動的ペアの暗号資産オプション

純粋ジャンプの性質がギャップの多い値動きに一致します。連続的な拡散を偽る必要はありません。

クレジットデリバティブ

デフォルトはジャンプイベントです。VGは不連続なペイオフを自然に扱います。

手早い3パラメータのスマイルフィット

ヘストン（5個）やマートン（4個）よりパラメータが少ないです。各パラメータには明確な意味があります。

モーメントマッチング

分散、歪度、尖度を直接制御できるため、キャリブレーションが直感的になります。

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1モーメントにつき1パラメータ

各VGパラメータは、リターンの統計的性質を正確に1つずつ制御します。あらゆるスマイルモデルの中で、スキューとテールの太さを最もきれいに分離します。VGの下でのベガエクスポージャーは、インプライドボラティリティスマイルが平坦ではないため、ブラック・ショールズとは異なります。ブラック・ショールズ以上のものが欲しいが、ヘストンやSLVの複雑さは必要ないなら、VGが適しています。

方程式エクスプローラー

インプライドボラティリティ、総分散、対数マネーネス、オプション価格の間で変換します。

数式エクスプローラー

w = σ² × Ttotal variance = IV² × time

インプライドボラ (σ)

%

インプライド・ボラティリティ

満期までの期間

日

満期までの暦日数

総分散 (w)

0.022225

年率換算分散 (σ²)

0.2704

逆算IV

52.00%

総分散は、SVIなどのモデルがフィットする対象です。時間とともに増えるため、30日間の50%ボラは90日間の50%ボラよりも総分散が小さくなります。

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次に進む前に理解度をテストしましょう。

Q: バリアンス・ガンマにおける「ランダムクロック」とは何であり、なぜファットテールを生み出すのですか？

Q: シータがゼロでニューが高い場合、スマイルはどのように見えますか？

Q: 非流動的ペアの暗号資産オプションにおいて、VGがマートンよりも適合しやすいのはなぜですか？

💡 ヒント： 回答を見る前に自分で答えてみましょう。

数学的直感を養う

バリアンス・ガンマをゼロから学ぶインタラクティブレッスン · 前提知識は不要です

このレッスンでは、ランダムクロックのメンタルモデルを通じてバリアンス・ガンマを教え、 その後、シータ、シグマ、ニューがスキュー、通常の動きの大きさ、テールの 太さをどのように制御するかを示します。

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関連項目：

• ブラック・ショールズ -- 拡散のみのベースライン
• マートン・ジャンプ拡散 -- 拡散にジャンプを加えたもの
• ヘストンモデル -- 確率ボラティリティ（拡散ベース）
• 補間手法 -- すべてのモデルの比較