ゼロから学ぶVariance Gamma
1/5時間そのものがランダム
Variance Gamma（バリアンス・ガンマ）は過激なアイデアから出発します: 拡散にジャンプを加えるのではなく、時間そのものを確率的にするのです。ブラウン運動がランダムな時計の上を走ります。
通常のブラウン運動はカレンダー時間を使います。1秒は常に1秒、どこまでも均一です。VGでは、市場は独自の内部時計 — ガンマ過程 G(t) — を持ち、時に猛スピードで進み、時にのろのろと進むと考えます。時計が速く進むとブラウン運動はより多くの「実効時間」を得て大きく動きます。時計が止まりかけると価格はほとんど動きません。
その結果、ジャンプサイズの分布を明示的に指定しなくても、時計のランダム性からファットテールが自然に現れます。時計が速い期間は大きな値動きのクラスターを生み、遅い期間は不気味な静けさを生みます。これは板の薄いクリプトのオーダーブックの実際の姿 — 長く続く無風、そして突然のバースト — とよく一致します。
G(t) — 平均レート1、分散レート ν のガンマ過程。これがランダムな時計です。
θ — 時計内部のドリフト（スキューを生みます）。
σ — 時計内部の拡散ボラティリティ。
以下では、上のパネルがガンマ過程 G(t) — ランダムな時計 — を示します。破線はカレンダー時間（まっすぐな対角線）です。G(t) が対角線より上に跳ねるとき、時間は速く進んでいます。下のパネルは、その結果として得られるVG過程 — ランダムな時間 G(t) で評価されたブラウン運動 — を示します。
時計をより不安定にするには ν を上げてください。VG過程がどれほど荒々しくなるか — より大きな動き、より多いクラスタリング — を観察してください。これがファットテールのメカニズムです。
再生速度が可変の映画を思い浮かべてください。あるシーンはスローモーション（静かな相場）、あるシーンは早送り（パニック売り、清算の連鎖）です。元のフィルムは通常のブラウン運動、速度コントロールがガンマ過程です。観客が目にするもの — VG過程 — には、速度変化のドラマがすべて織り込まれています。
3つのパラメータ
VGはあらゆるスマイルモデルの中で最もクリーンなパラメータ解釈を持ちます。各パラメータはちょうど1つの統計的モーメントに対応します。冗長性も相関の悩みもありません。
σ（シグマ）— 拡散ボラティリティ。 ランダムな時計の内部でのブラウン運動のボラティリティです。スマイル全体の水準を制御します。σ が高いほど全体が持ち上がります。ブラック・ショールズのボラティリティに相当するものです。
θ（シータ）— 従属化されたBMのドリフト。 スキューを制御します。θ < 0 の場合、過程はランダムな時計の内部で下方にドリフトし、スマイルが傾きます — プット側のウィングがコール側より急になります。θ = 0 の場合、スマイルは左右対称になります。
ν（ニュー）— ガンマ時間の分散。 超過尖度（テールの厚さ）を制御します。ν が大きいほど時計はよりランダムになり、テールが厚くなって両側のウィングが急になります。VGをブラック・ショールズと分けるパラメータです。
3つの実験:
1. Set θ = 0, ν = 0.01. ほぼフラットなスマイル — ブラック・ショールズに近い形です。時計はほぼ決定論的です。
2. Set θ = −0.15, ν = 0.20. 中程度の尖度を伴うネガティブ・スキュー。典型的なクリプトのスマイル形状です。
3. Set θ = 0, ν = 0.50. 対称ですが極端な尖度。両ウィングが跳ね上がります。「ブラックスワン・レジーム」です。
σ → 分散（2次モーメント）。 θ → 歪度（3次モーメント）。 ν → 超過尖度（4次モーメント）。これはあらゆるジャンプモデル・確率的ボラティリティモデルの中で最もクリーンなスマイル形状の分離です。Hestonは互いに相関する5つのパラメータを持ちます。VGは3つの直交したコントロールを持ちます。
実際にはこれは純粋なジャンププロセスです
時間変更されたブラウン運動（なめらか + 引き伸ばし）のように見えますが、VGのパスは厳密には純粋ジャンプです。すべての動きがジャンプです。カレンダー時間における連続的な拡散成分は存在しません。
これはMertonとは思想的に異なります。Mertonでは価格はほとんどの時間なめらかに動き（拡散）、時折大きなジャンプが起こります。VGでは、すべての動きが不連続です。この過程は無限活動 （どの区間にも無限個のジャンプが存在）でありながら、 有限変動（合計ジャンプサイズは有界）です。
そうしたジャンプの大半はごく小さく、大きなものは少数です。無数の微小ジャンプの極限では、パスはほぼ連続であるかのように見えます — なめらかな曲線でよく近似できます。しかし十分に拡大すれば、あらゆる動きは厳密にはジャンプです。隣接する2つの価格が連続なパスで結ばれることはありません。
左パネルはVGのパスをステップ関数として描いたものです — すべての時間ステップが独立したジャンプです。右パネルは、まれな大ジャンプ（赤いバー）の間をなめらかな拡散でつなぐMertonのパスです。「再生成」を押して比較してください:
VG: 小さなジャンプが絶えず続き、時折大きなジャンプが起こります。なめらかな区間はありません。パスはあらゆる場所で細かく揺れます。
Merton: 長いなめらかな区間が、突然の垂直なジャンプで中断されます。2つのレジーム（平穏 vs ショック）が明確に分かれます。
純粋ジャンプの世界では、デルタヘッジは構造的に不完全です — 価格自体が不連続なため、連続的に取引することはできません。これは、拡散部分は完全にヘッジでき、ヘッジ不能なのはまれなジャンプだけだと主張するMertonよりも、実は誠実な立場です。板の薄いクリプトのオーダーブックでは、すべての約定は事実上ジャンプです。VGはその現実を認めています。
特性関数
VGはきれいな閉形式の特性関数を持ちます。これこそがフーリエ・プライシングを実用的にするものです — モンテカルロなしで、ヨーロピアンオプションを高速かつ厳密に評価できます。
σ は u² の項を通じて現れます（分散への寄与）。
θ は iu の項を通じて現れます（虚部によるスキュー）。
ν は指数 −T/ν と底の中に現れます（尖度）。
When ν → 0: the exponent → −∞, CFはBSの対数正規CFに収束します。VGはBSを極限ケースとして内包します。
プライシングの手順: このCFを Carr-Madan (1999) の公式または COS 法に代入し、高速フーリエ変換を適用します。すべての行使価格のオプション価格が一度に得られます — 行使価格ごとの計算もシミュレーションノイズもありません。
指数 −T/ν は負であり、T が大きくなるほどさらに負になります。これは満期が長いほどCFが速く減衰することを意味し、VGのスマイルが時間とともにフラット化することに対応します。時計のランダム性は長い期間では平均化されます — 自然な期間構造の効果です。
実務におけるVG
VGは業界の標準ではありません — Bates（Heston + ジャンプ）が株式やクリプトのデスクを支配しています。しかしVGの従属化のアイデアはあらゆるところに現れ、このモデルには特定のニッチがあります。
クレジットデリバティブ: VGは元々クレジットモデリングで人気がありました。デフォルトはジャンプイベントです。VGの純粋ジャンプの性質は、不連続なペイオフをきれいに扱います。Madan、Carr、Chang（1998）は、クレジットを部分的に念頭に置いてVGを導入しました。
スマイル要件がシンプルな株式エキゾチック: 明確なモーメント解釈を持つ3パラメータのスマイルフィットが必要な場合、VGはなかなか超えられません。各パラメータの効果が一意であるため、キャリブレーションが高速です。
流動性の薄いクリプトペア: 流動性の低いクリプトのペアは滑らかに拡散しません — 注文が約定されるにつれて、ある価格から別の価格へとギャップします。VGの純粋ジャンプの性質は、どんな拡散モデルよりもその値動きの正直な記述です。
従属化（サボーディネーション）のアイデア: カレンダー時間をランダムな時計に置き換えるという概念は基礎的なものです。確率的クロック、ビジネスタイムモデル、アクティビティベースのモデル、そしてCGMY（VGの一般化）に登場します。VGオプションを一度も評価しなくても、時間変更を理解すればほかのすべてのモデルがより明確になります。
Black-Scholes: フラットなスマイル。連続なパス。パラメータ1個。
Merton: まれな大ジャンプによるスマイル。なめらかな拡散 + ポアソンジャンプ。パラメータ4個。
Kou: 非対称ジャンプによるスマイル。ウィングを独立に制御。パラメータ5個。
Variance Gamma: ランダムな時計によるスマイル。純粋ジャンプ、拡散なし。パラメータ3個、各モーメントに1つ。
Heston: 確率的ボラティリティによるスマイル。連続なパス。パラメータ5個。
Bates: Heston + Mertonジャンプ。実務の主力モデル。パラメータ8個。
次のステップ:
Mertonジャンプ拡散 — 拡散 + まれな大ジャンプ
Kouジャンプ拡散 — ウィングを独立に制御できる非対称ジャンプ
Hestonモデル — 確率的ボラティリティ、スマイルへのもう一つのアプローチ
Batesモデル — Heston + ジャンプ: 業界の主力モデル