ZABRモデル
ZABRは、一般的なバックボーンを持つSABRです。価格とボラティリティの間に固定的なべき乗則の関係を強制する代わりに、任意の滑らかな関数を組み込むことができます。「指数を選ぶ」のではなく、「好きな曲線を描く」ということです。
これが重要になるのは、SABRの硬直的なバックボーンがデータに明らかに適合しない場合です。たとえば、非対称なウィング、マイナス金利、あるいは単一のベータでは捉えられない価格とボラティリティの関係における屈曲などです。ZABRが生成するインプライド・ボラティリティのスマイルは、標準的なSABRでは構造的に到達できない形状を取ることができます。
一言でいうZABR
SABRは「ボラティリティは価格に対してべき乗則でスケールする」と言います。ZABRは「ボラティリティはデータが示す通りに価格に対してスケールする」と言います。より柔軟ですが、より複雑です。ほとんどのクリプト業務では、SABRまたはSVIで十分です。
違いを見る
以下の各曲線は同一の確率的パラメータ（rho、nu）を使用しており、バックボーン関数だけが異なります。バックボーンの選択によって、特にOTMのウィングにおいて、異なるスマイル形状が生じることに注目してください。
ZABRバックボーン比較
すべての曲線は同じスキュー、ボラティリティのボラティリティ、ボラティリティ水準を共有しています。唯一の違いはバックボーンの選択です。スマイルはATM付近では近い値を保ちながら、ウィング部分(網掛け領域)で最も大きく乖離する点にご注目ください。
SABRから何が変わったか
記法の小さな変更ですが、結果への影響は大きいです。
一般的なバックボーンの選択肢
ZABRがSABRについて教えてくれること
ZABRは「SABRの柔軟性が足りない場合」のフォールバックです。クリプトで必要になることはめったにありません。しかし、SABRにおけるベータが実際に何をしているかを示してくれます。それは、無限の族の中から特定の1つのバックボーンを選ぶことです。スキューとボラティリティ・サーフェスの形状は、バックボーンが確率ボラティリティのダイナミクスとどのように相互作用するかに依存します。
ZABRでのプライシング
SABRと異なり、ZABRには閉形式のインプライド・ボラティリティ公式がありません。Hagan公式はべき乗則の構造に特化して依存しており、z(F)を一般化するとその構造は失われます。ZABRのオプション価格からブラック・ショールズのインプライド・ボラティリティを復元するには、数値的手法を使わなければなりません。
ZABRの複雑さが見合う場面
ZABRに手を伸ばす前の実務チェックリスト
- SABRのバックボーンは本当に不適合か？ バックボーン（ボル・オブ・ボルをゼロに設定）を観測されたスマイルと重ねてプロットしてください。合理的に追従しているなら、SABRで十分です。
- 不適合はバックボーンにあるのか、それともボル・オブ・ボルにあるのか？ SABRのフィットが悪い場合、必要なのは異なるrho/nuであって、異なるバックボーンではないかもしれません。モデルを変更する前に、デルタ空間での残差を確認してください。
- 追加のパラメータをいくつ加えるのか？ それぞれがより良いフィットによって正当化される必要があり、過学習リスクを増大させます。複数の満期をフィットする際は、カレンダー・アービトラージの違反に注意してください。
- ツール環境は整っているか？ ZABRにはPDEソルバーが必要です。使用しているライブラリがSABRのHagan公式のみをサポートしている場合、切り替えは大きなエンジニアリング投資になります。
数式エクスプローラー
インプライド・ボラティリティ、トータル・バリアンス、対数マネーネス、オプション価格の間の変換を行います。
数式エクスプローラー
💡 ヒント： 回答を見る前に自分で答えてみましょう。
数学的な直観を築く
ZABRをゼロから学ぶインタラクティブレッスン · 前提知識は不要ですこのレッスンでは、ZABRを「カスタムバックボーンを持つSABR」として説明し、バックボーンが実際に何をしているのか、方程式がどのように変わるのか、そして追加の複雑さがいつ正当化されるのかを示します。
関連項目：
- SABRモデル -- ZABRが一般化する標準モデル
- ローカル・ボラティリティ -- バックボーンの概念と密接に関連
- SVI -- クリプトで最もよく使われるスマイルモデル
- Hestonモデル -- もう1つの確率ボラティリティ・アプローチ
- 補間手法 -- すべての手法の比較