ゼロから学ぶZABR
1/5柔軟なバックボーンを持つSABR
SABRは、フォワードがFᵝに比例するボラティリティで拡散すると述べています。これはべき乗則です。この1つの指数βがバックボーン全体を支配します。ZABRは、このべき乗則を一般的な関数γ(F)に置き換えます。SABRと同じ構造ですが、バックボーンは任意の形状を取れます。
標準的なSABRでは、フォワードのSDEは次のとおりです。
ZABRはFᵝを任意の滑らかな関数γ(F)に置き換えることで、これを一般化します:
SABRが与えてくれるのは1本の曲げられる棒、すなわちべき乗則Fᵝです。βを変えると棒の曲がり方は変わりますが、常に同じ形状ファミリーの中にとどまります。ZABRでは、曲げ始める前にまったく別の棒に差し替えることができます。棒の形状こそがバックボーンであり、ZABRは「市場に合う形状を自由に選んでください」と言っているのです。
もしγ(F) = Fᵝと設定すれば、SABRを正確に再現できます。ZABRは厳密な一般化です。問題は、この追加の柔軟性がいつ重要になるか、です。
γ 関数
SABRではγ(F) = Fᵝです。ZABRでは、γ(F)は区分関数、スプライン、あるいは任意の滑らかな正値関数にできます。つまり、ローカルボラティリティのバックボーンに、キンク、棚(シェルフ)、変曲点といった、単一のべき乗則では作れない形状を持たせられます。
バックボーン関数γ(F)はモデルに次のことを伝えます。すなわち、フォワードの各水準において、ローカルボラティリティは確率的ボラティリティのショックにどれだけ敏感か、ということです。ある水準でγ(F)が高いことは、価格がその水準にあるときボラティリティが非常に反応しやすいことを意味します。γ(F)が低ければ、そこではボラティリティは抑えられます。
SABRのFᵝ: 単調関数です。β < 1のとき、γは劣線形に増加します。つまり、低いFではボラティリティ感応度が相対的に高くなります。β = 1のとき、γは線形に増加します。しかし、常に滑らかで単調、かつ凹形です。
ZABRの一般的なγ(F): 非単調にすることができます。棚(低いFでボラティリティ感応度が飽和する)を持たせることも、キンク(ある価格水準での感応度の急変)を持たせることもできます。区分線形、スプライン、あるいは任意のパラメトリックな形式を選べます。
上のβスライダーをドラッグして、SABRのべき乗則バックボーンと2つのZABRの代替案を比較してください。「棚(シェルフ)」型バックボーンは低いFで平坦になります。これは、フォワードが非常に低いときにボラティリティ感応度が飽和することを意味し、低いβのSABRがゼロ付近で引き起こす爆発を防ぎます。「S字カーブ」型バックボーンは、現在のフォワード周辺の帯域にボラティリティ感応度を集中させるもので、市場の振る舞いに関する別の構造的仮定です。
上のデザイナーでは、制御点をドラッグして任意のバックボーン形状を作成し、その結果のスマイルを確認できます。バックボーン形状とスマイル形状の関係は直接的です。γ(F)が急な部分ではスマイルの曲率が大きくなり、γ(F)が平坦な部分ではスマイルは滑らかになります。
なぜバックボーンを一般化するのか?
一部の市場には、SABRのFᵝでは合わせられないスマイルがあります。バックボーン自体が間違っている場合、パラメータをいくら調整してもフィットを完全には救えません。ZABRはバックボーンを適応させられます。
ゼロ近傍の金利。 金利がゼロ付近または負のとき、SABRのバックボーンは問題を引き起こします。低いβでは、Fᵝの項が低いFで極端なボラティリティを生み出し、非現実的なスマイルを作ります。高いβでは、モデルは負の金利をまったく扱えません。γ(F) = (F + d)ᵝ(シフト付きべき乗則)やtanh関数のようなバックボーンを用いたZABRなら、これを問題なく扱えます。
クレジットスプレッド。 CDSオプションのスマイルは、SABRが左ウィングで系統的に外す形状を持つことがよくあります。低い水準(デフォルト近傍)でのスプレッドのダイナミクスは、高い水準とは異なる振る舞いをします。区分的なバックボーンはこの遷移を捉えられます。
レジーム転換時の株式ボラティリティ。 大幅な売り崩しの後、スマイルには、SABRの滑らかなべき乗則では再現できない特徴(キンク、特定の行使価格帯での余分な急峻さ)が現れることがあります。スプラインのバックボーンを持つZABRは、こうした一時的な特徴を捉えられます。
上の2つのプリセットを切り替えてみてください。「通常の市場」のケースでは、SABRとZABRはほぼ同一のスマイルを生成し、ZABRの追加の柔軟性は必要ありません。「キンクのある左ウィング」のケースでは、SABRは系統的にキンクを外します。ZABRのバックボーンは、これに適応して合わせられます。
教訓は次のとおりです。ZABRが真価を発揮するのは、バックボーンの系統的なミスフィットがある場合だけです。SABRがよくフィットするなら、カスタムバックボーンの複雑さを追加する理由はありません。モデル選択の基準は経験的です。SABRの最良フィットと市場との残差に、別のバックボーンで修正できるパターンが現れているかどうか、です。
漸近展開
ZABRはSABRと同じHagan流の漸近展開を用いますが、γ(F)がFᵝを置き換えます。公式の構造は同一で、変わるのはバックボーン関数だけです。
Hagan-WoodwardのSABR公式(2002)は、インプライド・ボラティリティを、ボル・オブ・ボルνと満期Tのべきで展開した漸近展開です。鍵となる構成要素は、バックボーンを含む積分を介した、フォワード水準から「正規ボラティリティ」空間への写像です:
Hagan公式の残りの部分(zからxへの写像、補正項)は構造的に同じです。すべてのFᵝをγ(F)に置き換え、バックボーン積分をすべてその数値に置き換えます。展開は同じ次数まで有効なままです。
これが重要な理由: 漸近展開は高速です。各(K, T)のペアについて、1つの積分を(数値的に)評価し、同じHagan流の公式に代入すれば、インプライド・ボラティリティが得られます。PDEもモンテカルロも不要です。これがZABRを実用的にしています。漸近公式の速度とカスタムバックボーンの柔軟性を兼ね備えているのです。
精度の限界: Hagan展開はTについて1次までにすぎません。長期のオプションでは不正確になり得ます。これはSABR自体と同じ限界で、この展開は短期から中期の満期向けです。長期の満期では、SABRかZABRかにかかわらず、PDEソルバーかモンテカルロが必要です。
代替案: PDEアプローチ。 漸近展開の代わりに、ZABRのプライシングPDEを直接解くこともできます。こちらの方が正確ですが低速です。実装によっては、漸近展開を初期推定として使い、PDEによる補正で精緻化します。
実務におけるZABR
ZABRは専門的なツールです。負金利環境向けに金利デスクで、またバックボーンのミスフィットがヘッジ誤差を引き起こすエキゾチックデスクで使われています。より単純で多くの場合それで十分なシフト付きSABRほど一般的ではありません。
金利市場: 主要なユーザー層です。EURとJPYで金利が負になったとき、各デスクはF < 0を扱えるモデルを必要としました。シフト付きSABR(γ(F) = (F + d)ᵝを用いるもの)が手早い解決策でした。カスタムバックボーンを持つフルZABRは、より精密なウィングのフィットを必要とするデスク向けの、より高度な解決策でした。
エキゾチックのプライシング: 経路依存型の商品(CMSキャップ、レンジアクルーアル)は、ペイオフがフォワードの各水準の通過の仕方に依存するため、バックボーン形状に敏感です。間違ったバックボーンは間違ったダイナミクスを意味し、バニラのスマイルがフィットしていてもエキゾチックの価格は間違ってしまいます。ZABRは、バックボーンを経験的なダイナミクスに合わせられるようにすることで、これに対処します。
キャリブレーション: 市場データにγ(F)をフィットさせるのは、βだけをフィットさせるより難しくなります。SABRでは4つのパラメータを最適化します。ZABRでは、γのパラメータ(多数のノットを持つスプラインになり得ます)に加えて、α, ν, および ρも最適化します。これはより高次元の問題であり、より多くのデータと、より慎重な正則化を必要とします。
ZABRを使うべきでない場合:
1. SABRがよくフィットする場合。付加価値のない複雑さの追加は、単なるリスクの追加です。SABRの残差が小さく構造がないなら、シンプルに保ちましょう。
2. バックボーンを制約するのに十分なデータがない場合。柔軟なγは、疎なデータでは過学習を招きます。追加の自由度を正当化するには、スマイル全体にわたって十分な流動性のある行使価格が必要です。
3. 暗号資産のボラティリティ・サーフェスに対して。暗号資産のデスクは通常、静的フィットにSVI/SSVIを使用しており、ZABRが提供する動的なバックボーンの枠組みは必要ありません。スマイル形状は、確率的ボラティリティのバックボーンを修正するより、直接的なパラメータ化で扱う方が適しています。
Black-Scholes(γ = F、確率的ボラティリティなし)→ SABR(γ = Fᵝ、確率的ボラティリティあり)→ ZABR(γ = 一般的な関数、確率的ボラティリティあり)。各ステップで柔軟性と複雑さが増します。市場にフィットし、ヘッジのニーズを満たす、最もシンプルなモデルを使ってください。
次のステップ:
SABRモデル -- ZABRが一般化する基礎
変位拡散(Displaced Diffusion) -- 最もシンプルなシフトのアプローチ
確率的ローカル・ボラティリティ -- バックボーンの柔軟性に対する代替アプローチ
Hestonモデル -- 異なる分散過程を持つ確率的ボラティリティ